토론:행렬

그림

(본문 편집을 할수 없어 덧붙이기로 수정 요청 합니다. 그림으로 나온 m.n의 표기가 뒤바뀌어 있다. 행 (수평의 가로) 열 (수직의 세로).최대한 빠른 시간안에 수정 바랍니다.)라고 211.247.43.180님이 쓰셨는데 맞게 그려지지 않았나요?--Gcd822 (토론) 2019년 8월 27일 (화) 07:00 (KST)

저라면 절대 저렇게 안 그리지만, 틀린 그림은 아니죠. 慈居 (토론) 2024년 3월 8일 (금) 03:34 (KST)

정방 행렬을 여기로 병합

정방 행렬(정사각 행렬)을 다시 병합하였습니다. 정사각 행렬은 행과 열의 수가 같은 행렬을 뜻합니다. 정사각 행렬을 모르는 독자는 행렬이 무엇인지 모르고 있을 가능성이 큽니다. 정사각 행렬에 대해서 추가로 더 할 수 있는 이야기는 기껏해 봐야 곱셈에 대하여 닫혀 있고, 행렬식이나 전치 행렬 등 연산이 정의되어 있다는 정도인데, 이는 행렬 문서에서도 다뤄야 하는 내용입니다. 행렬 문서의 소주제로서 다루는 것이 적합해 보입니다. 비슷한 사례로

• 벡터 공간과 “실수 벡터 공간”·“복소수 벡터 공간”,
• 결합 대수와 “유사 결합 대수”,
• 분해 가능 공간과 “밀도”

등이 있습니다. 慈居 (토론) 2024년 3월 8일 (금) 03:48 (KST)

대수구조 설명

일반적으로 수학과 커리큘럼은 선형대수학 다음에 현대대수학으로 넘어가는 커리큘럼으로 되어있습니다. 따라서 일반적으로 수학을 고등교육으로 이수하는 사람 입장에서도 대수구조에 대한 개념보다도 행렬 개념을 더 앞서서 접합니다. 그런데 "환"이니 "체"이니 하는 개념을 아무런 설명 없이 사용하는 게 말이 된다고 생각하십니까? 게다가 영문판 위키피디아에서도 잘 나와있듯이, 설명을 "체"에서 설명하거나, 제가 제시했던 대로 좀 더 일반적인 정의를 사용합니다. 그게 행렬의 본질 아닌가요? "환"을 통해서 설명하고 있지를 않습니다. 물론 환에서의 행렬의 성질도 재밌는 성질이 존재하긴 합니다만, 선형대수를 처음 접하는 수학과 2학년 학생들이나 아니면 아예 그런 개념조차도 안 사용하고 그저 실수나 복소수 같은 용어로만 행렬을 정의하고 사용하는 다른 대중들에게 이 문서가 어떤식으로 다가오는지 생각해보셨으면 합니다.

더불어 "환"을 이용한 정의 부분에서 출처가 되는 부분도 "체"라는 표현조차도 등장하지도 않습니다. Lang Serge의 책 Algebra에도 함수라는 표현도 없고, 이 문서보다도 더 정성적인 설명으로 행렬을 정의합니다. 그리고 예시가 대부분 "체" 위에서의 행렬인데 환을 왜 고집하는지 전혀 이해가 되지 않습니다. 차라리 따로 특수한 경우로 빼는 것이라면 모를까, 이게 누구를 위해, 뭘 말하고 싶은 문서인지 이해가 가지 않네요. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 10:25 (KST)

대학교에서의 선형대수학 수업에서도 맨 처음에 체를 다루거나, 복소수체의 부분체라도 간단히 짚고 넘어갑니다. 환을 먼저 가르치는 경우도 드물지만 있어요.

Lang의 Algebra에서 다루는 행렬은 환, 특히 가환환 성분의 행렬입니다. 13~19장을 참고하세요.

위키백과 문서는 교과서나 입문서의 역할 뿐 아니라 참고서(reference)의 역할도 합니다. 대학 수업 진도를 따르거나 교육을 위한 기만을 할 필요가 전혀 없어요. 환이 언급되는 것은 행렬이 환 위에서 정의되기 때문일 뿐입니다. 함수를 다룰 때 집합을 언급하는 이유, 스칼라곱을 다룰 때 유클리드 공간을 언급하는 이유, 행렬식을 다룰 때 행렬을 언급하는 이유와 같습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 12:01 (KST)

"예시가 대부분 '체' 위에서의 행렬"이라는 말씀은 사실이 아닙니다. 이 글에서 언급된 마르코프 행렬이나 헤세 행렬은 함수를 성분으로 합니다. 조르당 표준형이나 유리 표준형을 다룰 때 필요한 것도 다항식환 위의 행렬(속칭 람다 행렬)입니다.

"제가 제시했던 대로 좀 더 일반적인 정의를 사용합니다. 그게 행렬의 본질 아닌가요?"는 행렬의 성분이 환의 원소가 아닌 경우도 고려하자는 의견으로 이해됩니다. 행렬의 본질은 단순히 원소의 나열 이외에도 행렬 사이의 연산, 다른 구조 위의 작용 등을 포함합니다. 이를 위해서는 적어도 환의 구조가 필요합니다. 물론 더 일반적인 행렬 개념(예를 들어, 반환 위의 행렬, 모노이드 범주 위의 행렬, 크기가 무한한 행렬 등)을 고려해 볼 수 있지만, 이들은 일반화로서 다루거나 다른 문서에서 다루는 것이 더 좋은 생각입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 12:10 (KST)

저는 기본적으로 사람들이 이 문서를 접할 때 어떻게 접할까를 묻고 있습니다. 선형대수학에서도 체 정도는 가르치고 있죠. 네, 암요. 그런데, 이런 대수구조가 있다는 식으로 설명하지, 다짜고짜 아무런 예시 없이 체라는 대수구조가 존재한다고 설명하고 넘어가지 않습니다. 적어도 체가 무엇이고, 어떤 것이 체인지 정도는 설명하죠. 아무런 예시나 설명 없이 환의 원소이니, 가환환이니 하면서 소개하는 것과 대조적입니다.

그리고, 많은 레퍼런스가 말하듯이, 이렇게 딱딱하게 정의하는 경우는 없습니다. 심지어 저 정의는 그냥 인용이 잘못되었습니다. 저 레퍼런스에서 환에 대한 이야기는 하나도 안 해요. 행렬을 함수로써 정의할 수 있어도 그냥 잘못된 것을 refer한 겁니다. 그리고 위에서도 말씀드렸다시피, Lang의 Algebra에서도 정의할 때 "함수"라는 표현도 안 썼고요. 이건 다른 내용에 대한 얘기가 아니라, Lang Serge의 Algebra마저도 저 정의의 인용으로 쓰기에는 부적절하다는 걸 말씀드리는 거고요.

위키백과는 표지에서도 말하듯이, 누구나 접할 수 있는 지식백과입니다. 물론 깊게 파고드는 문서의 경우에는 어느 정도의 전문성이 요구되지만, 행렬이 그 정도의 전문성을 요구해야 하나요? 수학과 사람들만을 위해서 문서가 존재하는 것도 아니고, 행렬은 특히나 공학의 도구로써 간단하게 넘어가는 경우가 많습니다. 공학도들도 당연히 접근할 가능성이 많은 문서입니다. 그럼 그 사람들도 읽을 수는 있게 만들어야 되는 거 아닌가요? 공학수학에서 그렇게 깊게 다루나요? 선형대수학도 앞 부분을 그렇게 깊게 다루나요?

환 위에서만 존재하는 행렬이 존재할 수 있죠, 다른 건 왜 안 그러겠어요. 그렇게 엄밀성을 따지려면 다 넣고, 엄밀성을 따지고 싶지 않으면 환의 경우는 특이한 경우로 두는게 맞지 않을까요? 좀 더 대중적인 설명으로 체 위에서의 행렬을 택하지, 환 위에서의 행렬을 택하는 경우가 그렇게 많던가요? 실수를 통해서 설명할 수 있는 걸 굳이 정수를 통해서 설명하던가요?

다른 언어의 문서들을 살펴보세요. 대부분 고등학생 혹은 선형대수학을 접하는 학생들의 입장에서 가볍게 서술하고 있습니다. 왜겠습니까. 이 문서를 접하는 사람들이 모두 현대대수학까지 수강하는 사람도 아닐 뿐더러, 지식을 얻고자 하는 사람들이기 때문입니다. 그런데 대수학에 대한 도움닫기로써 자주 사용하는 이 도구에 그렇게 환이라는 대수구조를 맨 위에다가 들이대야겠습니까? 대학 교육에 얽매일 필요가 없다고 하시지만, 현대 대수학을 먼저 떼고 난 다음에 선형 대수학으로 들어가는 사람이 얼마나 되겠습니까? 더 나중에 배우는 개념으로 앞 개념을 설명하고 있는 꼴 아니겠습니까? 서술하더라도, 하위 문단에다가 적어야 읽을 사람들은 읽고, 안 읽을 사람들은 넘기지 않을까요? 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 13:24 (KST)

Lang의 Algebra는 환 위의 행렬을 행지표와 열지표에 대한 첨수족으로 정의하며, 첨수족은 함수와 같은 말입니다. 13장 1절을 참고하세요. Lang을 인용하지도 않았습니다만, 이 글의 정의가 Lang의 정의에 부합하지 않는다는 말씀은 사실이 아닙니다.

체나 환에 대한 설명이 없는 것이 불만이시라면 체나 환에 대한 설명을 직접 추가하세요. 특정 내용을 추가하는 것은 저의 의무가 아니며, 귀하께서는 이를 이유로 저를 꾸짖으실 자격이 없습니다. 더욱이 귀하의 의견은 체나 환을 언급하지 말라는 것에 가깝습니다.

독자의 수학적 기초와 독자가 필요로 하는 내용의 수준을 혼동하지 마시기 바랍니다. 기초가 부족하다고 하여 어려운 내용을 학습하고자 하는 의향이 없는 것은 아니고, 어려운 개념이 언급된다고 하여 접근할 수 없게 되는 것이 아닙니다.

환의 정의를 이해하기 위해 "현대대수학을 뗄" 필요 없고, 환의 정의는 환 문서 또는 이 글에 추가될 설명을 통해 파악될 수 있습니다. 또한, 서론은 행렬의 정성적인 이해를 목적으로 하므로, 환의 정의도 대략적으로만 제시하면 충분합니다.

네, 환 위의 행렬 응용 많습니다. 그리고 그것이 표준입니다. 행렬의 성분환을 체로 제한하는 것은 함수를 수와 수 사이의 대응으로 제한하는 격입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 14:10 (KST)

Indexed family를 함수로 볼 수 있죠. 그런데 그걸로 함수로 볼 수 있다는 것은 저 레퍼런스가 주어진다고 해서 알 수 있다는 것은 아니라는 말씀은 꼭 드리고 싶고요.

어려운 방식으로 설명해선 안된다는 것이 아니라, 굳이 왜 맨 처음부터 불친절하게 설명하는 걸 고집하는지 전혀 이해가 가지 않는다는 말씀 다시 한 번 드립니다. 그래서 더 일반적인 행렬의 정의와 함께, 체에는 어떤 것이 있는지도 친절하게 설명해드렸는데 어떤 분이 되돌려 놓으시더군요.

환 위의 행렬 응용 많지요. 그래요, 많아요. 그리고 그것이 표준인가요? 선형대수를 접하는 사람들과, 행렬을 응용하는 사람들이 그렇게 환 위까지 확장해서 자주 논의하는지에 대해서는 정말 많은 응용들이 이미 잘 말해주고 있는 것 같습니다. 컴퓨터 과학이나 물리학에서 그렇게 환으로 확장해서 쓰는게 보편적인가요? 표준일까요? 그래요, 어떤 경우에는 그렇게 쓰는 경우는 있겠습니다만, 끽해야 복소수까지 쓰는 경우가 훨씬 많다고 생각하지 않으십니까?

뭘 더할까요? 편집 취소해놓았으면서 직접 편집해서 더 더해놓고 설명을 직접 추가하시라는건가요? 정말 노고가 많으시네요. 굳이 토론할 필요가 있었을까요? 실수도, 복소수도 뭐 정수도 체 붙이고 환 붙여 놓으셨으니까 그거 다 떼서 그냥 환 안 붙여도 똑같다 체 안 붙여도 똑같다고 말하면 될까요? 이럴거면 왜 편집취소 하셨나요. 그냥 직접 편집하셔서 보충하시면 됐던 거 아닙니까. 혼동하지 말아야 하는 건 합의도 되지 않는 토론에다가 찬 물 끼얹으면 안 된다는 것 아니었을까요? 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 20:11 (KST)

첨수족은 그냥 함수의 다른 이름입니다. 문헌에 따라 함수라고 하거나 첨수족이라고 하는데, Hoffman & Kunze의 Linear Algebra에서는 행렬을 함수로 정의했던 것으로 기억합니다. 아무튼 이 글에서의 정의는 표준적인 정의에 비해 유별나거나 더 어렵지 않습니다.

맨 처음 오는 정의는 "수 또는 다항식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것이다"입니다. 되돌리거나 편집 취소를 한 적 없습니다. 판 사이 차이를 확인해 주세요. 서로 번갈아 편집해 가는 과정이 멋대로 해석되었을 뿐입니다.

"가장 많이 사용된다"고 말씀드리는 것이 아닙니다. 가령 "행렬에 대해서 행렬식이 항상 정의되는가", "선형 변환을 항상 행렬로 표현될 수 있는가" 같은 질문에 대한 '표준적인' 답은 부정적이라는 말씀을 드린 것입니다. 수의 집합을 정의역과 공역으로 하는 것이 가장 흔한 함수의 개념도 일반적인 집합을 정의역과 공역으로 하도록 정의됩니다. 그것이 표준이기 때문입니다.

저의 토론 중 편집에 동의하지 않으시는 것으로 보이므로, 위키백과:분쟁 해결에서 설명한 절차대로 분쟁 이전 판으로 되돌리고 토론합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 20:59 (KST)

토론하실 필요 없습니다. 건설적인 비판을 할 의지 자체를 잃었습니다. 귀하의 의견이 어떻게 되었든, 다른 이용자의 반론이 들어오기 전까지 귀하의 의견대로 합시다. 또 판을 되돌려서 뭘 논의하고 싶을 생각 자체가 사라졌습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 21:09 (KST)

그렇게 말씀하셨음에도 불구하고, 건설적인 비판은 언제나 환영합니다. 다만 관련 주제에 어느 정도 익숙함을 전제로 해야 하겠지요. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 21:25 (KST)

귀하의 편집에 동의하지 않습니다. 위키백과:분쟁 해결 정책을 준수하여, 편집을 멈추시거나 토론을 계속 이어가 주세요. 서론에서 "소박하게" 다루는 것에 그치지 않고 엄밀함을 요하는 정의에서 엄밀함을 잃을 이유는 없습니다. '소박한 정의'의 내용은 서론의 답습일 뿐입니다.

그와 별개로, 토론 및 편집 요약에서 보여주신 공격적인 태도에 대해서 경고합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 23:20 (KST)

계속해서 말씀 드리는 것이지만, 위키백과는 수학과 학생들이나 고등교육을 이수한 사람만이 보는 것이 아닙니다. 소박한 정의는 고등교육이나 집합론을 듣지도 않은 사람들을 위해서 반드시 필요하죠. 공격적인 태도라고 인식하셨다면 참 아쉽게 됐습니다. 굳이 그렇게 느끼셨다면 심심한 사과의 말씀 드립니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 23:23 (KST)

사과를 받아들입니다. 제가 지적하고자 하는 바는 불필요함이 아닌 중복입니다. 서론의 내용과 중복입니다. 소박함과 쉽고 어려움은 구분되어야 하고, 기존 정의 문단은 엄밀하지만 그렇다고 어렵게 되어 있지는 않다고 판단됩니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 23:28 (KST)

중복에 관한 문제는 일단 인덱싱에 문제가 있습니다. 굳이 우리가 개요나 예시나 역사 같은 것을 나누는 이유가 무엇인가요? 서론에서 명시적으로 정의라고 하지 않아도, 무엇이 논의하고자 하는 대상의 정의인지는 명시해야 한다고 생각합니다.

그리고, 기존의 정의의 경우에는 어렵지 않다고 하기에는 많은 개념들을 숙지하고 있어야 합니다. 가령 한국 고등학교까지의 중등교육을 이수한 사람 입장에서 봅시다. 기존의 정의는 환이라는 대수구조를 알아야 하고, 첨수에 대해서도 알아야 합니다. 집합과 집합의 곱이라는 개념도 고등학교 과정에서는 존재하지 않습니다.

소박한 정의와 비교해보면 이해하는데 걸리는 시간이 많습니다. 소박한 정의의 경우, 비록 엉성하게 구성되어 있지만, 체라는 개념을 제외한 모든 것이 중등교육 내에서 소화하는 정의입니다.

특히 공학적으로 행렬을 사용하는 경우에는 체라는 개념마저도 정의할 필요가 없다는 것을 생각해볼 때, 훨씬 더 개념을 쉽게 받아들일 수 있습니다. 굳이 엄밀하게 받아들일 필요가 없는 입장에서는 확실하게 많은 시간을 아낄 수 있습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 23:39 (KST)

기존 정의와의 중복도 같이 고려해 주셨으면 좋겠습니다. 서론에서 대략적인 정의를 언급하였으면, '정의' 절에서는 반복하는 것이 아니라 대략적었던 정의를 구체화하는 것이 맞습니다.

"각 행 $i\in \{1,\dotsc ,m\}$ 및 열 $j\in \{1,\dotsc ,n\}$의 순서쌍 $(i,j)$에 환의 원소 $A_{ij}\in R$를 대응시키는"으로 풀어쓰였으므로, 첨수나 곱집합의 개념을 이해할 필요가 없습니다. 인용한 내용은 생략하여도 말하고자 하는 바가 달라지지 않는, 오직 이해를 쉽게 하기 위한 목적으로 추가된 표현입니다.

정의의 모든 부분을 이해할 필요는 없습니다. 이를테면 환의 정의를 알 필요가 없습니다. 서론에서 행렬의 성분의 환의 전형적 예들을 들었고, 그것으로 충분합니다. 각자의 수준에서 이해가 가능한 만큼 이해하면 되고, 기존 정의로도 정의의 본질적인 측면은 대부분 이해가 가능합니다.

수학자가 아니면 대수학을 모른다는 말씀도 편견에 불과합니다. 컴퓨터 과학 연구자들이 고등 범주론을 꿰는 것이 현실입니다. 다학제가 추세입니다. 설령 실수 행렬, 복소수 행렬에만 관심이 있더라도 서론의 설명을 바탕으로 환에 복소수체를 대입해서 생각하면 됩니다. 기초가 부족한 독자를 배려해야 하지만, 이들이 중심이 될 수는 없습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 4일 (수) 23:58 (KST)

정의의 모든 부분을 이해할 필요는 없습니다. 제가 가장 동의하는 바입니다. 그리고, 글을 읽는 모든 독자들이 대수학에 정통해서 이 문서를 읽는 것이 아님도 명심해주시길 바라겠습니다.

간단하게 풀어서 썼다고 생각하실 수 있지만, 그건 보통 수학 기호에 익숙한 사람들에게만 느껴지는 경우가 대다수입니다. 기초가 부족한 독자라고 치부하기에는 함수가 $f(x)$처럼 변수가 괄호 안에 같이 표기 되어 있어야 한다고 생각하는 사람들이 많을 겁니다.

실례로 가장 잘 비춰지는 것이 대학생 신입생들의 미적분학이나, 교양으로 제작되는 수학 커뮤니케이션 프로그램들(KAOS재단의 세상에 나쁜 수학은 없다 등)일겁니다. 어떤식으로 수학자들이 설명을 하지만, 어쩔 수 없이, 청중을 위해 엄밀성을 포기하고 비유 등으로 설명합니다.

물론 수준은 어느 정도 맞춰야 하긴 합니다. 그래도 현재의 문서는 수준이 많이 높습니다. 특히나 간단하게 설명할 수 있고, 실제로 그런 역사적 배경을 가지고 있는 행렬을 모두가 엄밀하게 받아들여야 하는 이유는 없습니다.

엄밀한 정의나 좀 더 깊은 내용들도 문서에 포함되어서 안 좋을 것은 없지만, 그것을 수학 기호에 익숙하지 않은 사람들이 바로 읽을 수 있도록 두는 것은 딱히 좋은 것이라는 생각은 들지 않습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 00:19 (KST)

충분히 풀어썼기 때문에, 사실은 함수도 이해할 필요가 없습니다. 대략적인 이해만을 추구하고자 하는 독자들은 행렬은 행지표와 열지표의 쌍을 환의 원소에 대응시키는 존재라는 것만 이해하면 될 것이고, 이는 서론과 정의를 통해 파악이 가능합니다.

기호에 익숙치 않더라도 기호를 접촉하기를 원하지 않는 독자들은 드물 것으로 예상되오나, 그런 독자들의 경우에도 서론을 이용하여 행렬의 대략적인 정체를 이해할 수 있습니다. 역시 중복의 당위성을 설명하지 못합니다. 직관적인 이해를 돕기 위한, 행렬을 사각형으로 나타낸 수식도 곁들여져 있다는 점을 고려해 주십시오.

"행렬을 모두가 엄밀하게 받아들여야 하는 이유는 없다"는 말씀에 전적으로 동의합니다. 하지만 수학에서의 '정의'는 정의에 따라(?) 엄밀해야 합니다. 일부 편집자들은 대략적인 내용을 다루기를 위해 '개요' 절을 만들지만, 다른 일부 편집자들은 이것이 서론의 역할과 겹치기 때문이 선호하지 않습니다. 제가 '소박한 정의'를 추가하는 것에 회의적인 것도 비슷한 이유입니다.

慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 00:42 (KST)

그럼 서론을 굉장히 친절하게 서술해야 하는 것에 동의하시길 바라겠습니다. 정의는 정의에 따라(?) 엄밀해야 하지만, 서론마저도 그렇게 엄밀해야 할 필요가 있을지 모르겠습니다. 저의 경우 정의도 별도로 좀 더 쉽게 받아들일 수 있는 버전이 존재해야 한다고 생각하지만, 완고하셔서 이에 대한 토론은 그냥 평행선을 걸을 것 같습니다. 그 대신에, 기호에 익숙치 않고, 기호는 보고 싶지도 않고, 수학적으로 뭔가 생각하기도 싫은 독자들을 위해서 서론 부분만큼은 좀 더 친절하게 적으면 어떨까 합니다.

물론 엄밀성은 더 떨어지고, 사실 조금 틀린 말이 있을 수 있더라도, 마치 우리 초중고등학교 교과서의 설명처럼 기초가 부족한 독자들도 쉽게 접할 수 있도록 설명하는 겁니다. 물론 환이나 체 같은 우리들의 용어가 아니라, 중등교육 내에서 소화할 수 있을만한 것으로 서술하면 좀 더 낮은 허들에서 좀 더 다양한 사람들이 읽지 않을까 싶습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 00:58 (KST)

친절하게 서술해 가는 방향성에 동의합니다. 하지만 구체적으로 제시된 방안에 대해서는 수정을 원할 수도 있어요.

'체'나 '환'을 언급을 피하는 방향은 명확하게 반대합니다. 이 개념들을 언급하더라도 충분히 이해가 쉽게 서술할 수 있습니다. 이를테면, '체나 환'이라고 하는 것보다 "실수체, 복소수체, 또는 임의의 체", "다항식환, 정수환, 또는 임의의 환"으로 쓰면 덜 어렵겠지요. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 01:13 (KST)

어차피 실수도 체고 복소수도 체이므로, 이것에 대한 자세한 서술은 뒤로 미루고, 체라는 용어 자체를 언급 안 하고 실수나 복소수로 이루어진, 아니면 환에 대해서도 정수로 이루어진 행렬을 언급만 하고 넘어가는 것이 더 낫다고 봅니다. 이건 저도 양보할 수 없는 부분이에요.

낯선 용어의 사용은 사람들로 하여금 거부감을 들게 합니다. 한글로 된 책이 보통이 된 시대에 한자가 병기도 없이 혼용이 된 책이 있다고 생각해보세요. 요즘 시대에 한글로 된 책을 가져가지, 한자가 적힌 책을 가져가는 사람은 소수일 겁니다.

저는 지식 전달에 있어서 그런 것들이 장애물이 되어서는 안된다고 생각합니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 01:22 (KST)

맨 처음 문장에서 '실수, 복소수, 다항식, 함수'를 언급하고, 조금 뒤에 '실수체, 복소수체, 다항식환, 함수환'을 언급하는 것은 어떠신가요. '정의' 절에서는 체나 환의 예를 기호를 더 자세히 들어야 할 것으로 보이거든요. 많이 양보해 주셨음에도 불구하고 제안드려 봅니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 01:32 (KST)

행렬을 설명할 때까지는, 그러니까 소박한 정의라도 내릴 수 있을 때까지는 용어를 회피하는게 좋아보입니다. 결국에 용어 사용으로 인해서 지식습득을 포기하는 것을 막는 것을 목표로 해야하기 때문입니다.

사실 간단한 연산과 간단한 응용까지만 얻어도 공학적인 수준이나 상식적인 수준의 지식은 얻을 수 있을 거라 생각하기 때문에, 그 뒤로 미루거나 좀 더 자연스럽게 섞어서 표현하는 것은 어떨까 싶습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 01:40 (KST)

'소박한 정의' 뒤로 미루는 정도는 받아들일 수 있습니다. 언급을 충분히 조심스럽게 하면 우려하시는 문제를 최소화할 수 있을 것으로 보입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 02:49 (KST)

그럼 어느정도 합의가 된 것 같습니다. 즉, 정의는 기존의 정의 혹은 다시 고치신 정의만을 남겨두고, 대신에 서론 부분에서 간단하게 정의를 할 때 환이나 체 같은, 중등교육을 넘어서 사용되는 용어를 사용하지 않는 것에 동의하신거라 믿습니다.

그래도 예시나 그 뒤의 내용에 대해서 독자들의 거부감을 덜어내기 위해 환이나 체에 대해서 링크와 함께 비유적으로 설명한 후에("실수와 같은 곱셈과 덧셈이 정의되어 있는 것을 체라고 하는데, ~"같은 서술) 체나 환을 사용하는 것은 어떨까 싶습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 10:18 (KST)

체나 환을 자세히 설명할 필요는 없을 것 같구요, 체나 환이 언급된 내용은 건너뛰기 편하도록 잘 표현하면 될 것으로 보입니다. 가령, 먼저 체나 환을 언급하지 않고 표현하고, 다시 체나 환을 언급하면서 재서술할 수 있습니다.

설명을 추가하는 것에 반대하는 것은, 말씀하신 "중등교육을 넘어서"는 용어가 체나 환에 국한되지 않기 때문입니다. 선형 변환, 벡터 공간, 자유 가군, 가환환, 함수해석학, 차원 등등도 언급되어야 하는데, 이러한 용어들을 모두 설명하면 글의 흐름이 깨지게 됩니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 11:41 (KST)

선형 변환이나 벡터 공간 등 선형대수에서 다루는 용어에 대해서는 설명하는 것이 곤란하다는 것에는 동의합니다. 게다가 개별 문서들이 존재하고, 벡터 공간과 선형 변환을 제외한 나머지 것들은 받아들이기 어려운 것이 아니거나 짧게 설명하기 어려운 것이므로 굳이 건들 필요가 없어보입니다.

하지만 가환환이 나오는 부분은 좀 더 간단하게 표현하는게 낫지 않을까 싶습니다. 가환환이나 자유 가군의 개념을 이미 알고 있는 사람이 선형 변환의 유일성을 모르고 있다는 것을 기대하기 힘들기 때문입니다.

함수해석학은 어디에 서술되어 있는지는 모르겠지만, 물리학의 광학, 전자기학, 양자역학 등과 마찬가지로 응용 분야로만 언급을 하고 넘어가면 좋을 것 같습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 12:40 (KST)

간단하게 표현할 방법은 얼마든지 있습니다. 핵심은 "언제" 선형 변환의 행렬로 유일하게 표현되는지 기술하는 것입니다.

수학에 익숙한 사람들도 중요한 사실들을 기록한 참고서가 필요합니다. 참고 문헌은 입문자를 위한 교과서의 역할, 연구자를 위한 참고서의 역할을 표방하거나, 두 역할을 겸합니다. 위키백과가 어느 한 역할에 치우쳐야 한다고 생각하지 않고, 지금 저희는 두 역할이 공존할 방법을 모색하고 있다고 이해하고 있습니다.

함수해석학은 선형 변환의 행렬 표현이 불가능하거나 유용하지 않을 수 있는 무한 차원 공간을 설명할 때 잠깐 언급됩니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 13:07 (KST)

우리가 논의하고 있는 부분은 서론임을 기억해주셨으면 합니다. 만약 위키백과가 공신력이 굉장히 높아져서 참고문헌으로써의 위상을 가진다고 하더라도, 가환환 위의 유한 차원 자유 가군의 선형변환의 유일성이 행렬 문서 서론에 나올법한 이야기이긴 힘들 것 같습니다.

그보단 선형 변환이나 자유 가군 문서에 더 적합하지 않을까 합니다. 무한 차원 공간 상의 선형 변환 역시도 선형 변환이나 벡터 공간에 구체적으로 다루는게 더 적합하다고 보입니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 13:20 (KST)

가환환 위의 유한 차원 자유 가군에서의 행렬 표현은 서론에서 언급될 가치가 충분한 중요한 사실입니다. 본문에서는 이렇게 단순한 언급에 그치지 않고 선형 변환과 행렬 사이의 관계가 구체적으로 어떠한지 서술되어야 할 것인데, 서론은 이에 대한 요약을 제공해 주어야 합니다.

무한 차원의 경우는 유한 차원의 경우에 따라붙는 주해에 가깝습니다. 선형대수학을 배우는 학생이 자주 묻는 질문 가운데 하나가 "그렇다면 무한 차원에서는 어떤가요?"입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 13:33 (KST)

논의의 편의를 위해서 예를 들어 봅니다.

행렬은 실수, 복소수, 정수, 다항식, 함수 등을 성분으로 할 수 있다. 이 경우, 행렬 위에는 덧셈, 스칼라배, 곱셈 같은 연산이 주어진다. 실수나 복소수의 연산과 달리, 행렬에서는 곱셈의 교환 법칙이나 소거 법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 보다 일반적으로, 행렬의 덧셈과 곱셈은 임의의 환의 원소를 성분으로 하는 행렬에 대하여 정의되며, 행렬의 스칼라배는 임의의 가환환의 원소를 성분으로 하는 행렬에 대하여 정의된다.

慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 11:43 (KST)

제가 글의 내용을 완전히 따라가지 못했을 수 있습니다. 다만 수학 개념들이 지금보다 더 쉽게 서술될 필요가 있다는 논지에는 공감합니다. 아마 영어위키의 지향점도 그게 아닐까 합니다. 예전에 자거님과 대화를 잠깐 한 적 있지만, 생각도 지금은 같습니다. 이 문제가 단지 행렬 문서에 국한된 것이 아니니, 괜찮으시다면 프토:수학이나 백:사랑방에서 제대로 발의해보심이 어떨까 합니다. 그렇다면 추후에 저도 생각 정리해서 의견 남기겠습니다. ― 사도바울 (💬✍ℹ️) 2025년 6월 5일 (목) 00:53 (KST)

"보다 일반적으로"로 앞 뒤의 차이를 나눠서 괜찮은 문장이라고 생각합니다. 중간에 읽고 돌아가더라도 그 전까지는 읽은 것이 있으니, 설령 낯선 용어를 기피하는 독자라고 해도 이해할 수 있을만한 예시라고 생각합니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 12:51 (KST)

예를 들지 않고 논의가 진행되다 보니 서로 오해가 쌓이는 것 같습니다. 가령 자유 가군이나 무한 차원이 언급되는 맥락은 이렇습니다.

선형 변환의 행렬 표현은 행렬의 중요한 응용이다. 이 대응에서, 행렬의 곱셈은 선형 변환의 합성에 대응한다. 유한 차원 벡터 공간, 더 일반적으로 가환환 위의 유한 차원 자유 가군 사이의 선형 변환은 유일한 행렬로 나타낼 수 있다. 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 다루는 경우, 선형 변환의 “무한 행렬” 표현은 불가능하거나 유용하지 않으므로, 보통 대신 함수해석학적 기법을 사용한다.

慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 13:35 (KST)

서술 방향에는 동의하나, 수학적으로 흥미롭고 일반적인 대상이라고 해서, 그것을 먼저 설명하기 위해 전문적인 용어를 앞에 배치하는 것은 좋은 서술방식이 아니라고 생각합니다. 그 이유는 위의 예시에서 말씀드린 이유와 같습니다. 비록 중복이 되더라도 유한 차원 벡터 공간의 선형 변환 부분을

유한 차원 벡터 공간의 선형 변환은 행렬로 유일하게 나타낼 수 있다. 더 일반적으로, 가환환 위의 유한 차원 자유 가군 사이의 선형 변환 역시도 유일한 행렬로 나타낼 수 있다.

로 서술하는 게 더 낫지 않을까 싶습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 13:56 (KST)

동의합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 14:01 (KST)

사실 아직도 이 문서에 자유 가군까지 있어야 하는지는 의문입니다만, 이런 식으로 따로 나누어서 서술하는 것에는 동의합니다. 어찌 되었든 간에, 제가 추구하고자 하는 서술과 아주 크게 충돌되지 않습니다. 더 논의할 사안이 없다면 다음과 같이 서술하는 것에 동의해주시길 바라겠습니다.

1. 정의 문단은 기존의 정의 혹은 토론 과정 중 수정되었던 정의로 따라간다. 즉, 환 $R$ 위의 $m\times n$ 행렬에 대한 정의를 사용한다.
2. 서론에서 행렬을 소개하고 정의할 때 중등교육을 넘어선 용어를 사용하지 않는다.
3. 서론에서 정의 이후의 내용의 경우 慈居님이 제시한 예시처럼 "일반적으로" 등의 용어를 통해 전후의 서술의 수준을 바꿔 서술할 수 있으나, 이 경우 용어 앞의 내용은 뒤의 내용보다 이해를 덜 요구하는 것을 서술하도록 한다.

203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 15:41 (KST)

1, 2번에 동의합니다. 3번은 논의된 내용들에 서론의 전반부에 대해서 동의하며, 응용이나 일반화 등이 추가되어야 할 서론의 후반부에 대해서는 별도의 기준이 필요하다고 생각합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 15:58 (KST)

응용은 개인적으로 다시 한 번 정리될 필요가 있다고 느껴지지만, 3번의 내용이 충분히 기준을 제시할 수 있다고 생각합니다. 위에서 "일반적으로"라는 말을 대표적으로 내세웠지만, 지엽적인 내용에 대해서도 "~에 대해서는" 같은 용어를 통해 서술의 수준을 바꿀 수 있다고 생각합니다. 물론 이 때도 3번의 내용처럼 앞의 내용은 더 쉬운 것으로 서술할 수 있어야 하고요. 일반화에 대해서도 크게 다르지 않을 것 같습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:18 (KST)

응용을 꼭 두 번씩 서술해야 할까요? 응용에 대한 서술은 원래 정성적인 서술입니다. 어려운 개념이 언급되었더라도 다 이해할 필요는 없습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:25 (KST)

3번에서 "서술할 수 있으나"를 적은 이유가 두 번씩 적을 이유가 없는 서술에 대해서 반드시 나눠서 적지는 말자는 뜻에서 적은 것입니다. 위에서 논의했던 내용은 예시에서 제시했던 이유로 나눠서 적을 필요가 있지만, 응용 같은 경우는 말씀대로 굳이 두 번 적을 필요가 없습니다. 오해가 되었다면 사과의 말씀 드립니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:31 (KST)

응용이나 (지금은 없는) 일반화를 다루는 방법은 차차 생각해 보면 될 것 같아요. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:35 (KST)

그럼 3번과는 모순되는 것이 없으므로 동의하시는 것으로 봐도 될까요? 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:40 (KST)

네. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:42 (KST)

2025년 6월 5일 (목) 01:22 (KST)의 제 답변에서 이미 말씀드렸고, 이 토론에 전반적으로 말씀드린 것처럼 독자들에게 어떤 방식으로 수용할만하게 서술해야 좋을지 충분히 말씀드린 것 같습니다만, 동의하시지 못하는 내용이 있으시다면, 이 토론을 지속해야 할 이유가 있을지 모르겠습니다.

성분과 연산을 단락을 나눠서 설명하는 것은 문단의 크기를 생각해봤을 때, 가독성 측면에서 우리 모두 동의하지 못할 사안임은 분명하니, 문단을 나누는 것은 상정하지 않겠습니다.

두 개의 문단에서 두 개의 서술방식에는 큰 차이가 없습니다만, 단순히 어떤 것을 먼저 선택할까에 대한 문제로 귀결된다고 할 수 있겠네요. 그리고 제 눈에는 수학 용어를 앞에다가 내세울 이유도, 그렇다고, 뒤에 놓는다고 수학 용어를 알고 있는 사람이 오독할 가능성이 있다고도 전혀 보여지지 않습니다.

따라서 위에서 누누히 말씀드렸듯이, 중등교육과정까지 이수한 사람들이 하나라도 더 얻어가기 위해서 단락에서 체와 환을 뒤로 미루는 것이 더 낫다는 것이 제 의견입니다.

이런 것도 토론이 필요한 지 의문이 듭니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 04:16 (KST)

성분에 대한 서술을 한 데 두고, 연산에 대한 서술을 한 데 뒀을 뿐입니다. 성분에 대한 서술과 연산에 대한 서술 모두 점차 일반적으로 서술되므로, 수학의 기초가 부족한 사람들도 충분히 배려되고 있습니다.

중등교육과정까지 이수한 사람들"만" 고려되어서는 안 됩니다. 연구자들의 참고서 역할도 해야 하며, 그러기 위해서는 글의 구조를 고려하지 않은 채 무조건 뒤로 빼자는 생각은 버려야 합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 12:11 (KST)

토론에서 합의된 바에서 벗어나 추가적인 요구를 하셨습니다. 토론이 불가피합니다. 답답한 건 저도 마찬가지입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 12:14 (KST)

위에서 이유도 충분히 설명드렸던 것으로 압니다. 낯선 용어를 보면 읽기 싫어진다고요. 지금 단락은 이 이유에 충분히 반대되는 것 아닌가요? 중등교육과정까지 이수한 사람들"만"이 아니라 중등교육과정까지 이수한 사람들"도" 고려해야 하는 것 아닙니까?

그리고 수정된 글이 글의 맥락을 그렇게 해치던가요? 전혀 이해가 가지 않습니다. 마치 문서를 혼자 통제하시려는 듯한 느낌을 받습니다. 이게 합의된 바에서 벗어나서 토론이 아니면 안될 정도인지 잘 모르겠습니다. 단락을 따로 분리해야 할 정도로 많은 것을 뒤로 보낸 것도 아니니 말입니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 14:27 (KST)

그래서 낯선 용어를 사용하지 않고 실수와 복소수를 먼저 설명하지 않았습니까. 특수한 경우를 설명한 뒤에 일반적인 설명을 곁들였음에도 불구하고 "읽기 싫어지는" 경우가 드물게 있다 한들, 성분에 대한 설명을 마치고 연산을 설명할 필요성보다 우선시 될 이유는 없어 보입니다. 특정 독자들"만" 고려하고자 하는 것이 아니라면.

네, 성분에 대한 설명과 연산에 대한 설명을 분리하는 것이 더 자연스럽습니다. 물론, 두 서술 제한 때문에 불필요하게 길어지는 측면이 있으나, 이는 제한의 완화(특수에서 일반의 순서로 서술하되, 한 마디로 합치는 것을 허용)로 해결해야 할 문제입니다.

반대 근거를 충분히 설명했고, 토론에 응하고 있음에도 "통제"한다고 느끼셨다면 드릴 말씀이 없습니다. 마음대로 생각하십시오. 저는 여전히 귀하의 선의를 가정하고 있으며, 토론을 통해 새로운 합의를 만들 의향이 있음을 말씀드립니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 14:57 (KST)

또 평행선을 걷겠군요. 제가 보기에 읽기 싫어지는 부분은 중등교육을 이수한 사람이 알고 있는 "실수"와 "복소수" 부분이 아니라 "체", "환" 부분입니다. 이건 심지어 발제에서 이미 말씀드렸고요, 여기서는 뭘 더 양보할 수 있는 부분이 없습니다. 단락의 분리에 대해서도 가독성 문제로 상정하지 않겠다고 말씀드렸고요. 무엇 하나 토론다울 수 있을만한 부분이 없습니다. 아시다시피, 토론은 누군가를 꺾으려고 하는게 아니라 서로를 설득하거나 합의하면서 나가야하는 것인데, 이건 어찌할 도리가 없습니다. 뻣뻣하게 대만 세우고 있으니 뭘 낼 수 없습니다.

특정 독자들만을 고려하고자 한 것은 오히려 이 문서 전반이라는 것을 알아주셨으면 합니다. 행렬을 접하고 사용하는 사람들이 가지는 수준보다 훨씬 높은 수준으로 정의를 내리고 있다는 것은 너무 자명한 사실 아닙니까? 이 문서가 수학자와 일부 컴퓨터공학자만을 고려하기에는 파울리-루반스키 벡터 같은 지엽적인 문서와 달리 상당히 보편적으로 다양한 사람들이 접근합니다.

그런데도 대수학적인 정의를 고집하시고 공업수학이나 다른 이들이 접하는 수준의 정의, 학부 선형대수학의 교과서에서도 널리 쓰이는 정의도 거부하시면 이게 특정 독자"만"을 고려하지 않아야 한다는 주장에는 굉장히 힘이 떨어집니다.

더불어 굳이 이런 토론도 깊게 할 필요가 없다는 것을 알았습니다. 너무 늦게 알아버렸네요. 물론 정책이 전부가 아닙니다만은, 다른 것도 아닌 이 문서의 서론까지도 이렇게 써야하는 이유가 있는지는 하나도 모르겠습니다. 읽기 싫어진다고 느끼는 사람이 "드물게 있다"는 말은 동의할 수 없습니다. 다른 사람들도 더 넓은 시야로 이해해주셨으면 좋겠습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 15:55 (KST)

제 의견을 잘못 이해하셨습니다. 실수 행렬과 복소수 행렬을 먼저 언급하고, 그 다음 체나 환 위의 행렬을 언급하였으므로 기초가 부족한 독자에 대한 배려는 충분하다는 말씀을 드린 겁니다. 이 의견에서 귀하께서 먼저 제안하신 대로입니다. 합의에 부합하는 편집임에도 불구하고 동료 편집자를 질책하시고 토론 없이 귀하의 의견을 따라야 한다고 완고하게 주장하시는 데 대해서 깊은 유감을 표합니다.

문서 전반에 불만이 있으시면 편집을 하시면 됩니다. 다만, 문서를 편집하는 취지와 그 편집이 실제로 개선인지 여부는 구분해 주셨으면 좋겠습니다. 귀하의 편집 역시 (좋은 취지와 무관하게) 저를 비롯한 편집자들에 의해 개선되거나 되돌려질 수 있습니다. 제가 귀하의 편집에 반대하였던 것도 그 취지가 나빠서가 아니라, 누차 말씀드렸던 이런저런 문제가 있었기 때문입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 16:18 (KST)

일단 오해하고 계신 거 먼저 바로 잡아봅시다. "뻣뻣하게 대만 세우고 있으니"라는 표현은 처음에 나온 "또 평행선을 걷겠군요."에 해당되는 말이고, "토론은 무언가를 꺾으려고 하는게 아니"기 때문에 한 곳만 제 주장을 고집한다고 토론이 성사되지 않는게 아닙니다. 서로 뻣뻣하게 대만 세우고 있다는 표현이지, 상대방만을 지칭하려면 "계시다"로 표현하지 않겠습니까? 이걸 인신공격이라고 생각하시는 것은 지나친 생각이라는 말씀드립니다.

제 의견에 대해서 잘못 이해하시고 계신 것 같습니다. 제시하신 제 의견을 잘 읽어보시면, 제가 서술방향에는 동의하는 이유가 "중간에 읽고 돌아가더라도 그 전까지는 읽은 것이 있으니, 설령 낯선 용어를 기피하는 독자라고 해도 이해할 수 있을만한 예시"입니다. 그리고 이런 말을 꺼낸 원인은 저 위에 많은 답글들이 있는 곳에 있고, 이것은 계속해서 말씀드리듯이 용어에 대한 거부감이라고 말씀드립니다.

그리고 이 토론에서 논하고 있는 부분은 성분과 연산에 대한 부분이고, 이것은 위에서 숱하게 언급한대로, 단락으로 나누는 것은 가독성이 떨어지고, 이걸 이렇게 나눈다고 해서 이해하지 못하는게 아니라는 말씀을 드렸습니다. 그리고 서술에는 성분과 체와 환이 언급되어 있기 때문에 낯선 용어를 기피하는 독자들이 연산을 읽지 않고 넘길 거라고 짐작할 수 있습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:06 (KST)

단락을 나누자고 한 적 없습니다. 같은 문단에서 서술하되, 성분-연산-성분-연산 대신 성분-연산의 구조를 취하자는 의견입니다.

"행렬은 실수 또는 복소수 등을 성분으로 할 수 있다"가 바로 "그 전까지[는] 읽은 것"의 역할을 한다는 의견을 드린 것인데, 이해가 되셨을지 모르겠습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:13 (KST)

단락을 나누는 것은 우리가 동의하지 못할 사안이니 상정하지 않았다고 말씀드렸습니다. 그래서 같이 덧붙이는 주장이 쉬운 용어로 된 성분-연산-대수학 용어로 된 성분-연산 구조로 쓰자고 하자는 겁니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:17 (KST)

단락의 구분이 줄바꿈을 의미하지 않는다면, "우리"가 동의하지 못할 사안이 아닙니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:19 (KST)

그럼 우리가 동의하지 못할 사안입니다. 명확하지 않은 표현이었나 봅니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:20 (KST)

혹시 "정수"나 "함수" 등을 뺀 것을 지적하신 것이라면, 원소의 측면만을 고려하면 정수는 이미 실수의 특수한 경우라는 말씀을 드리며, 함수환과 함수는 함수가 이루는 구조를 명시하는 것 외에 다른 의미도 내포하고 있습니다. '함수환 = 환을 이루는 함수들이 이루는 환'이며, 모든 함수가 환을 이루지는 않습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:17 (KST)

"체"와 "환" 같은 대수학적 용어의 사용에 대해서만 말하고 있습니다. 더 정확히는 성분과 연산 사이에 들어간 대수학적 용어의 사용에 대해서 말하고 있습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:22 (KST)

그렇다면 평행선이 맞습니다. 서로의 의견은 충분히 이해된 것으로 보입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:25 (KST)

"뻣뻣하게 대만 세우고 있"다, 그리고 맨 처음 편집 요약에서 적으셨던 "굳이 왜 환을 고집하는지 모르겠음"과 같은 아름다운 말씀을 쏟아내시면서 상대방에게 어떤 우호적인 태도를 기대를 하시는지 모르겠습니다. 재차 경고드리며, 인신 공격이 반복될 경우 차단 요청을 검토하겠습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 16:23 (KST)

(추신) 일반적인 경우를 다루는 이유는 모든 경우에 적용되기 때문입니다. 누구는 실수 행렬에 대한 정의를 원하고, 누구는 복소수 행렬에 대한 정의를 원합니다. 누구는 환에 대한 정의를 원하고, 누구는 체에 대한 정의를 원하고, 누구는 표수 0의 체에 대한 정의를 원하고, 누구는 복소수체의 부분체에 대한 정의만을 원합니다. 모두 실을 수는 없습니다. 가장 일반적인 정의를 취하고, 일부 경우에만 적용되는 성질에 대해서는 어떤 경우에 성립하는지 명시하는 것이 최선입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 16:43 (KST)

(추신 2) "그런데도 대수학적인 정의를 고집하시고 공업수학이나 다른 이들이 접하는 수준의 정의, 학부 선형대수학의 교과서에서도 널리 쓰이는 정의도 거부"한다는 주장은 일방적인 모함일 뿐, 사실이 아닙니다. 수학에서 사용되는 표준적인 정의에 대한 초등적인 수준의 재서술은 정의의 비정식적인 묘사일 뿐, 진정한 정의가 아닙니다. (행렬의 경우, 심지어 표준적인 정의와 초등적인 재서술 사이에 차이가 별로 없습니다.) 초등적인 묘사는 서론에 이미 서술되어 있습니다. 제가 서술한 정의와 Lang이 내린 정의가 일치한다는 사실을 인지하신 이후, '받아들일 수 있는 정의'의 기준을 '학부 선형대수학 (수업)'으로 축소하시는 데 그친 것은, 귀하께서 지적하신 비건설적인 토론 태도의 예로 보입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 16:46 (KST)

(답변의 "제가 서술한 정의와 Lang이~"을 보기 전에 작성된 것임을 알립니다.)자꾸 늘어나서 대답하기 쉬운 것부터 답합니다. 문서 전반 자체가 모두를 위한 수준이 아닌데 왜 모두를 위한 수준을 요구하는지 묻고 있는 겁니다.

표준적인 정의 좋죠. 그런데 그게 특정독자"만" 알아먹을 수 있는 수준의 글이고, 귀하께서는 독자에 대한 수준을 무시하지 말라고 하셨는데, 이게 그 정도로 가볍게 볼 수 있습니까? 대수구조 환이 쉽게 이해될 수 있게 설명이 되어 있습니까? 아벨 군과 모노이드가 손쉽게 들어오는 단어입니까? 이건 모든 독자를 위한 것이 아닙니다. 모든 사람이 행렬이라는 개념을 알기 위해서 그렇게 많은 것을 알려고 하는 것은 아닙니다. 아무리 표준적인 정의가 가장 그 대상을 잘 표현하는 정의라고 할지라도 그게 모든 독자가 읽을만한 것은 아니죠.

이런 바탕에서 특정독자"만"을 위한 것이 아니라는 말씀을 하시니 이것에 대해서 반박한 것입니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:02 (KST)

정의의 모든 내용을 이해할 필요는 없습니다. 이 답변에서 동의하신 부분입니다. 해당 정의의 골자는 행과 열의 지표 위에 정의된 함수라는 데 있습니다. 환의 특별한 예들을 괄호 안에 추가하는 것을 고려해 볼 수 있으나, 전체적으로 크게 어렵지 않습니다. 아벨 군과 모노이드는 여기서 언급된 적 없습니다. 다른 문서로 주제를 돌리지 말아 주세요. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:05 (KST)

"정의의 모든 부분을 이해할 필요는 없습니다. 제가 가장 동의하는 바입니다. 그리고, 글을 읽는 모든 독자들이 대수학에 정통해서 이 문서를 읽는 것이 아님도 명심해주시길 바라겠습니다."

의견을 곡해하지 말아주시길 바랍니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:09 (KST)

되도록이면 답변 전체에 대해서 답변해 주실 것을 부탁드립니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:13 (KST)

저 정의를 보고 환의 정의를 안 찾아볼 사람이 얼마나 될지는 잘 모르겠습니다. 정의를 읽는 법을 잘 훈련된 사람이라면 환 "위의" 행렬이라는 표현에서부터 다른 대수구조에 대해서도 생각할 수 있겠다, 환으로 생각할 수 있는 대수구조는 다 해당이 되는 내용이겠다고 생각할 수 있지만, 모두가 그럴 수 있는지는 잘 모르겠습니다. 이게 행렬을 접해본 모두가 그럴 수 있는지조차 의문이네요. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:36 (KST)

환 (수학) 문서도 "덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나"라는 설명으로 시작합니다. 기초적인 이해만을 바란다면 이것으로 충분합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:39 (KST)

뭐라 할 말이 없습니다. 여기도 평행선인가 봅니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 18:04 (KST)

환의 대표적 예를 서론에서 설명하고 있기도 하구요. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:40 (KST)

토론이 길어짐에 따라 분쟁과 무관한 편집도 못 하고 있습니다. 편집 요약을 남길 테니 반대하시는 편집은 편하게 되돌려 주세요. 慈居 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 17:42 (KST)

지침은 지켜주시길 바랍니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 10일 (화) 18:07 (KST)

뒤늦게 수정된 것을 발견한 후 지침을 지켜달라고 쓴 후에 잘못 인지했나 싶어서 취소선을 그었었는데 아닌 것 같군요. 제가 말하는 학부 선형대수학적 정의는 대수학을 접한 "대수학에 정통"한 독자가 아니라, 이제 막 학부 선형대수학을 배우는 독자들에 대한 이야기입니다. 위에서 같이 예시를 드렸듯이, 대수학적 정의와 비교하면서 "공업수학이나 다른 이들이 접하는 수준의 정의, 학부 선형대수학의 교과서에서도 널리 쓰이는 정의"를 말했습니다.

받아들일 수 있는 정의를 축소한 것이 아니라 "특정 독자"만"을 고려하지 않아야 한다는 주장에는 굉장히 힘이 떨어집니다."라는 주장의 근거로써 제시되었다는 사실을 인지하셨으면 합니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 11일 (수) 08:01 (KST)

더불어 이 토론은 서로 간의 인식 차이로 인해서 더 이상 토론을 진행할만한 것이 없다는 것은 잘 알고 계실겁니다. 뭘 논의하건 기저 단에서 뭘 양보할 여지가 없으니, 토론은 의미가 없습니다.

위키백과 분쟁 해결에 따라 의견 요청이나 관련 프로젝트 토론방에서 다른 사람들의 의견을 받아서 하는 것 말고는 실마리가 보이지 않네요. 위의 @Sadopaul 님께서 달아주신 글을 보아하니 다른 수학 문서들에 대해서 예상 독자의 수준과 문서 수준의 어긋남을 주제로 이미 토론이 진행된 적이 있는 것 같은데, 어떻게 하고 싶으신가요? 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 11일 (수) 08:26 (KST)

답변이 올라오기 전에도 수정을 가하지 말라는 말씀 같은데, 거절합니다. 모든 답변에 대한 수정은 추가 답변이 달리기 전 이루어졌으며, 지침에도 부합합니다.

아뇨, 모두를 위한 정의는 일반적인 정의입니다. 개개인의 수요는

• 실수 행렬
• 복소수 행렬
• 복소수체의 부분체 위의 행렬
• 표수 0의 체 위의 행렬
• 체 위의 행렬
• 가환환 위의 행렬
• 환 위의 행렬
• (실수/복소수/…) 2×2 행렬
• (실수/복소수/…) 3×3 행렬

등 다양하며, 일부만을 다루는 것은 모두를 위한 것이 아닙니다. 정 특수한 경우"만"을 집중적으로 다루려면 특수한 경우를 위한 별도의 문서(실수 행렬, 복소수 행렬, 2×2 행렬, 3×3 행렬)를 만드는 것을 고려하실 수 있습니다.

의견 요청이나 관련 프로젝트 토론방 모두 상관 없습니다. 원하시는 대로 하시면 됩니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 11일 (수) 14:06 (KST)

수정 요청을 드린 것은 제가 인지하기 전에 수정이 되었기 때문입니다.

위에서 말씀드렸듯이, "자꾸 늘어나서 대답하기 쉬운 것부터 답합니다."로 운을 뗐습니다. 다른 답변을 작성하는 도중에 새로운 글이 있다고 해서 이쪽 답변에 답변을 달고 있었고, 토론 문서에서 답변 기능이 아닌 다른 방법으로 편집할 때는 알림이 안 오는 것을 모르는 채로 답변을 단 후에, 답변이 수정이 되었다는 것을 늦게 인지하였습니다.

또, 이 답변이 마지막 답변이었습니다. 또 다른 답변을 다셨다면 제가 다시 확인하고 편집된 내용을 봤을 가능성도 있지만, 그럴 가능성도 없습니다.

위의 근거들이 "원래 내용을 바탕으로 답변을 썼을 수도 있기 때문입니다."에 잘 부합합니다. 실제로도 제가 그렇게 썼고요. 따라서 제가 인지한 것에 대해서 이 토론을 읽는 다른 이용자들에게 오해를 사지 않도록 지침에 따라 해당 내용을 추가했음을 알려주시길 바랍니다.

애초에 오해의 소지가 없는 사소한 내용이었으면 지켜달라는 말씀도 안 드렸을 겁니다. 심지어 토론에 참여하고 있는 사람도 오해했을 정도면 달아야 하지 않겠습니까. 왜 제가 이렇게까지 자기변호를 해야하는지 모르겠네요. 운을 저렇게 뗀 게 다행입니다.

위에서도 계속 말씀 드렸듯이 이건 모두를 위한 정의라고 할 수 없습니다. 아예 글의 난도가 제각기 다른 교재에서도 저자가 종종 서문에 어떤 독자들을 위해서 책을 썼는지 적어두는 것으로만 봐도 어떤 정의가 어떤 배경을 가지고 있는 사람한테 어떻게 다가오는지 추측할 수 있을 겁니다. 그리고 오히려 행렬곱이라든지 실수 행렬 같은 개별적인 문서가 접근하기 더 어렵다는 것만 말씀드리고 끝내겠습니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 11일 (수) 20:36 (KST)

답변 중이신지 제가 알 길이 없으며, 새로운 답변 기능을 활성화하면 답변이 추가될 때 알림이 옵니다. 무엇보다 단순히 수정 요청을 하신 게 아니라, 제가 지침 위반을 했다고 주장을 하셨으며 당연히 해명을 해야 합니다. 이미 말씀드렸으나, 답변이 달리기 전에 수정하는 것은 위키백과 토론에서 흔히 벌어지는 일이며, 지침 위반이 아닙니다. 귀하께서 "이렇게까지 자기변호를" 하셔야 하는 이유는 어쩌면 섣불리 상대방을 비난하셨기 때문입니다.

재차 말씀드리지만, 특수한 경우에 대한 정의"만" 다루는 것은 앞서 말씀드린 다양한 수요를 고려하지 않는 생각입니다. "실수 또는 복소수 행렬"을 다루고자 하신다면, 왜 3×3 이하의 행렬로 국한하지는 않는가 여쭐 수밖에 없습니다.

en:Matrix (mathematics)#Abstract algebraic aspects and generalizations에서 환 위의 행렬에 대한 짤막한 언급이 ko:행렬에서 다루는 내용을 대체할 수 있다는 건 순진한 생각입니다. 행렬식이 가환환 위에서만 정의된다는 지식은 서술되어 있으나, 체 위에서 성립하는 결과 가운데 어떤 것들이 가환환 위에서도 성립하는지 빠져 있습니다. 대각합이 언제 정의되는지, 대각합 관련 항등식이 언제 성립하는지도 없습니다. 해당 내용의 편폭을 감안하면 이는 필연적입니다.

물론, 서지 랭의 대수학 교재는 대학(원)생을 대상으로 합니다. 이 이유 때문에 이 글은 이 교재의 내용보다 쉽게 풀어 쓰여 있습니다. 추가적인 수정이 필요하다는 데에도 동의합니다. 그러나, 귀하가 지금까지 제안한 대로는 동의하지 않습니다. 취지에는 공감하나, 실질적인 개선이 아니기 때문입니다. 제가 적극적으로 아이디어를 내고 합의를 이끌 수도 있겠죠. 그런데 제가 속이 좁아서 그런지, 예를 갖추지 않은 상대방과 그럴 마음은 들지 않습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 11일 (수) 22:20 (KST)

203.255.69.2입니다. 더 넓고 일반적인 의제를 더 편하게 쓸 수 있도록 계정을 만들었습니다.

이미 수차례 말씀드렸던 것처럼 문서를 접근하는 이들이 어떤지를 고려해주시기를 바라고, 취지에는 공감하신다고 하시지만, 이 토론에 걸쳐 제가 주장한 것들을 보면 알 수 있듯이, 제가 받아들이기에는 굉장히 보수적으로 잡고 계신다는 걸 이해해주셨으면 합니다.

대수학적인 언어로 기술된 것이 왜 폭넓은 사람들에게 받아들여지지 않을 것인지는 이미 충분히 이야기 한 것 같습니다. 소박한 정의를 타협하지 말아야 했다는 생각이 듭니다.

자세한 이야기는 총체적으로 정리를 할 예정이고, 이를 위에서 언급한 분쟁 해결에 따라 따로 올리도록 하겠습니다.

수정 요청에 대한 근거는 충분히 말씀드렸고, 그저 지침을 지켜달라는 말이 비난으로 들리셨다면 더 이상 드릴 말씀이 없습니다. 수정하실 생각이 없으시다면 제가 다른 이들에게 오해를 사지 않도록 그 답변 바로 아래에 있는 제 답변에다가 지침대로 수정하도록 하겠습니다.

더 이상의 토론은 의미가 없는 것 같습니다. 이제는 "위에서 말씀드렸듯이", "재차 말씀드리지만"이라는 말을 반드시 붙여야 할 정도로 도돌이표만 하고 있네요. 무기여변론가 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 09:56 (KST)

비난이라고 말씀드렸지만 accusation을 표현하고 싶었습니다. 이에 대응하는 한국어를 찾지 못했습니다. 수정 요청의 근거를 말씀하셨으나, 이는 제가 지침을 위반했는지 여부와 별개입니다. 답변이 달리기 전 답변을 수정하는 데 대해서는 "가장 좋습니다"와 같이 강제적이지 않은 사항으로 설명하고 있습니다. 여전히 섣부른 비난이었다고 생각합니다.

'소박한 정의'를 비롯한 귀하의 제안에 대한 반대 근거는 이미 설명드렸는데, 다시 언급되고 있습니다. 건설적인 토론을 위해서 반복을 삼가 주시기 바랍니다. 수학적 사실에 기반한 것들(행렬의 정의의 적절성, 무한 행렬 포함 여부)을 제외한 모든 사안에 대해서는 평행선을 걷고 있는 것으로 느껴져 아쉽습니다.

토론이 진척이 없는 데 대해서는 유감입니다. 무의미한 대화가 되지 않도록 되도록 매번 새로운 근거를 추가하고 있습니다. 일부는 답변되지 않았으나, 답변을 요청할 생각은 없습니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 12:04 (KST)

그럼 수정할 생각이 없으신 것으로 알고, 제 답변을 수정하는 것으로 하겠습니다. 그리고 '소박한 정의'에 대해 다시 토론하고자 하는 것은 아닙니다. 단지 토론을 진행하면 할수록 문서 내에서 제가 원하는 서술 방향대로 이루어진 것이 없는 것에 대한 푸념입니다. 알다시피 토론을 시작하면 문서를 편집하는 것 자체가 굉장히 비건설적인 태도고, 덕분에 "체"와 "환"을 뒤쪽으로 보내자고 하는, 글의 맥락도 크게 해치는 것도 없는 한 단락 정도의 제 조그마한 의견도 관철되지 못하는 것 보니까 많이 무기력해집니다.

토론에 진척이 없는 이유는 잘 아실겁니다. 양쪽에서 어떤 근거를 제시해도 양쪽 모두 기저 단에서 받아들일 수 없으니 진척이 있을 수 없습니다. 일부는 답변되지 않는 것은 이쪽도 마찬가지고, 저도 답변을 요청할 생각은 없습니다. 무기여변론가 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 12:54 (KST)

기준을 너무 높게 잡으셨기 때문이 아닌가 한 번쯤은 돌아보셨으면 합니다. '모두 받아들여지지 않는 것'은 모두 합리적이지 않은 제안이기 때문일 수 있습니다. 물론, 그렇다고 해도 감히 동료 편집자를 문책할 생각은 없습니다.

노파심일 수 있으나, 제가 표한 유감은 귀하에 대한 것은 아닙니다. 미처 답변드리지 못한 것이 있다면, 얼마든지 재요청해 주세요. 慈居 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 13:06 (KST)

설령 어떤 제안이 합리적이라고 해도 그것을 받아들이는 사람이 그렇게 생각하지 않는다면 충분히 거부할 수 있습니다. 사람은 충분히 이성적이고 합리적인 존재가 아닌 것이 기본적인 원인이고, 그것이 비단 위키백과 뿐만 아니라 인생의 많은 곳에 있어서 우리가 누군가를 설득하기 위해서 부단히 노력하는 이유입니다.

반대로 누군가는 합리적이라고 생각해도 다른 사람들에게는 합리적이지 않을수도 있습니다. 위와 같은 원인 때문입니다.

더 나아가 그동안의 우리는 인류의 역사를 통해서 귀납적으로 "만고불변의 진리"가 없음을 자연스럽게 받아들이고 있습니다. 물론 수학적으로 기술되는 세계에서 공리를 상정하긴 하지만, 현실세계는 지금까지 진리라고 받아들여질 수 있는 것이 없습니다.

그렇기 때문에 설령 누가 합리적이라고 생각하는 주장을 꺼내도 다른 누군가는 자신의 입장에서 합리적이라고 생각하는 논리로 그 주장이 받아들여지지 않습니다. 우리가 여태까지 해온 것이 이를 잘 보여준다고 생각합니다.

따라서 이 토론은 더 이상 진행할 필요가 없다고 생각합니다. 저도 양보할 생각이 없고, 귀하께서도 양보할 생각이 없다는 것을 잘 보았기 때문입니다. 이 토론은 이쯤에서 접고 다음 단계로 넘어갑시다. 무기여변론가 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 13:31 (KST)

물론 제 의견은 서로에게 적용됩니다. 그럼에도 불구하고 한 번쯤 생각해 보시라는 겁니다. '본문을 그대로 두자'가 아니라, '이렇게 수정하는 대신 이렇게 해보자'고 제안을 수정하셨다면, 받아들여졌을지도 모릅니다. 저조차도 본문 수정에 대한 아이디어를 가지고 있습니다. 마음이 상해서 말씀 안 드릴 뿐입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 13:50 (KST)

끝내기를 원하신다면 끝내시면 됩니다. 저는 답변이 달리는 한 답변을 달 겁니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 12일 (목) 13:54 (KST)

사소한 사안이나, 무한 행렬은 이 정의에 포함되지 않습니다. 일반화로서 다뤄야 합니다. 빈 행렬에 대한 서술도 컴퓨터 과학 중심적으로 되어 있어서 수정되어야 합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:07 (KST)

순서쌍이 자연수에 대해서 기술한 것이라면 무한 행렬이 이 정의에 포함되지 않는다는 것은 납득하기 어렵습니다. 반대로 빈 배열에 대한 서술은 위 정의에 맞진 않네요. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:21 (KST)

무한 행렬은 행과 열의 수가 무한한 행렬을 일컫습니다. 행과 열의 수는 행렬의 정의에 따라 유한합니다. 빈 행렬은 0×0 행렬이므로 위 정의에 부합합니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:24 (KST)

첨수 표현의 차이인 것 같네요. 정의에 들어맞지 않는 행렬은 예 문단으로 넘기는 것이 더 나아보입니다. 다만, 빈 배열 같은 경우도 프로그래밍에서 더 많이 쓰므로, 크기 문단에 어울리지 않다면 빈 배열도 예로 보내는게 맞지 않을까합니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:37 (KST)

예보다는 일반화에서 다루는 것이 좋겠습니다. 행렬의 예도 행렬의 정의에 부합해야 하니까요. 빈 행렬은 크기 문단에서 (고정된 환에 대해서) 유일한 0×0 행렬이 존재한다는 정도로 언급하면 충분해 보입니다. 慈居 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:46 (KST)

동의합니다. 203.255.69.2 (토론) 2025년 6월 5일 (목) 16:56 (KST)