펜로즈 그래프 표기법

수학과 물리학에서 펜로즈 그래프 표기법(Penrose graphical notation) 또는 텐서 다이어그램 표기법(tensor diagram notation)은 1971년 로저 펜로즈가 제안한 다중선형 함수 또는 텐서의 (보통 손으로 쓴) 시각적 묘사이다. 이 표기법의 다이어그램은 선으로 연결된 여러 도형으로 구성된다.

이 표기법은 현대 양자 이론, 특히 행렬 곱 상태와 양자 회로에서 널리 나타난다. 특히, 범주형 양자역학 (여기에는 ZX-calculus가 포함됨)은 펜로즈 다이어그램 측면에서 양자 이론을 완전히 재정의한 것이다.

이 표기법은 프레드라그 츠비타노비치에 의해 광범위하게 연구되었으며, 그는 파인만의 다이어그램 및 기타 관련 표기법과 함께 "새 발자국(birdtracks)"을 개발하는 데 이를 사용했다. 새 발자국은 고전 리 군을 분류하기 위한 군론적 다이어그램이다. 펜로즈의 표기법은 또한 표현론을 사용하여 물리학의 스핀 네트워크로 일반화되었으며, 행렬군이 있는 경우 선형대수학의 추적 다이어그램으로 일반화되었다.

해석

다중선형대수학

다중선형대수학의 언어로 각 도형은 다중선형 함수를 나타낸다. 도형에 부착된 선은 함수의 입력 또는 출력을 나타내며, 도형을 어떤 방식으로든 함께 연결하는 것은 본질적으로 함수의 합성이다.

텐서

텐서 대수의 언어로, 특정 텐서는 위아래로 뻗어 나가는 많은 선을 가진 특정 도형과 연관되어 있으며, 각각 텐서의 추상 상위 및 하위 인덱스에 해당한다. 두 도형 사이의 선을 연결하는 것은 인덱스의 축약에 해당한다. 이 수학적 표기법의 한 가지 장점은 새로운 인덱스에 대해 새로운 문자를 발명할 필요가 없다는 것이다. 이 표기법은 또한 명시적으로 기저에 독립적이다.

행렬

각 도형은 행렬을 나타내며, 텐서곱은 수평으로, 행렬 곱셈은 수직으로 수행된다.

특수 텐서의 표현

계량 텐서

계량 텐서는 사용되는 텐서의 유형에 따라 U자형 고리 또는 뒤집힌 U자형 고리로 표현된다.

계량 텐서 $g^{ab}$

계량 텐서 $g_{ab}$

레비치비타 텐서

레비치비타 텐서는 사용되는 텐서의 유형에 따라 아래 또는 위로 향하는 막대기가 있는 두꺼운 수평 막대로 표현된다.

$\varepsilon _{ab\ldots n}$

$\varepsilon ^{ab\ldots n}$

$\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$$=n!$

구조 상수

구조 상수 ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

리 대수의 구조 상수(${\gamma _{ab}}^{c}$)는 위로 향하는 선 하나와 아래로 향하는 선 두 개가 있는 작은 삼각형으로 표현된다.

텐서 연산

인덱스 축약

인덱스의 텐서 축약은 인덱스 선을 함께 연결하여 표현된다.

크로네커 델타 $\delta _{b}^{a}$

스칼라곱 $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

$g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

대칭화

인덱스의 대칭화는 인덱스 선을 가로지르는 두꺼운 지그재그 또는 물결 모양의 막대로 표현된다.

대칭화 $Q^{(ab\ldots n)}$ (with ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$)

반대칭화

인덱스의 반대칭화는 인덱스 선을 가로지르는 두꺼운 직선으로 표현된다.

반대칭화 $E_{[ab\ldots n]}$ (with ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$)

행렬식

행렬식은 인덱스에 반대칭화를 적용하여 형성된다.

행렬식 $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

행렬의 역 $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

공변미분

공변미분($\nabla$)은 미분될 텐서(들) 주위의 원과 원에서 아래쪽으로 향하는 선으로 표현되며, 이는 미분의 하위 인덱스를 나타낸다.

공변미분 $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

텐서 조작

다이어그램 표기법은 텐서 대수를 조작하는 데 유용하다. 일반적으로 텐서 조작의 몇 가지 간단한 "항등식"이 포함된다.

예를 들어, $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$는 일반적인 "항등식"이며, 여기서 n은 차원의 수이다.

리만 곡률 텐서

리만 곡률 텐서의 리치 및 비안키 항등식은 이 표기법의 위력을 보여준다.

리만 곡률 텐서 표기법

리치 곡률 텐서 $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

리치 항등식 $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$$=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

비안키 항등식 $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

확장

이 표기법은 스피너와 트위스터를 지원하도록 확장되었다.

같이 보기

• 추상 지표 표기법
• 각운동량 다이어그램 (양자역학)
• 브레이드 모노이드 범주
• 범주형 양자역학은 텐서 다이어그램 표기법을 사용한다.
• 행렬 곱 상태는 펜로즈 그래프 표기법을 사용한다.
• 리치 미적분학
• 스핀 네트워크
• 추적 다이어그램