포괄적 필터

순서론에서 포괄적 필터(包括的filter, 영어: generic filter)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 $F\subseteq P$를 $P$의 포괄적 필터(영어: generic filter)라 부른다.^{:202, Definition 14.1}

• 모든 공시작 집합 $D\subseteq P$에 대하여, $D\cap F\neq \varnothing$

집합론에서는 공시작 집합을 ‘조밀 집합(dense set)’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서 $P$ 속의 집합족 ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(P)$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 $F\subseteq P$를 ${\mathcal {D}}$-포괄적 필터(영어: ${\mathcal {D}}$-generic filter)라고 부른다.

• 모든 $D\in {\mathcal {D}}$에 대하여, $D\cap F\neq \varnothing$

마찬가지로, 원순서 집합 $(P,\lesssim )$에 대해서 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼 $I\subseteq P$를 포괄적 순서 아이디얼(영어: generic order ideal)이라 부른다.

• 모든 공종 집합 $D\subseteq P$에 대하여, $D\cap I\neq \varnothing$

마찬가지로 ${\mathcal {D}}$-포괄적 순서 아이디얼을 정의할 수 있다.

성질

라시오바-시코르스키 보조정리

ZFC를 가정하면 다음이 성립한다:

라시오바-시코르스키 보조정리

원순서 집합 $(P,\lesssim )$와 가산 개의 공시작 집합들로 이루어진 집합족 ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(P)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\mathcal {D}}$-포괄적 필터 $F\subseteq P$가 존재한다.

또한, 임의의 원소 $x\in P$에 대해서 $x\in F$인 ${\mathcal {D}}$-포괄적 필터 $F\subseteq P$가 존재한다.

라시오바-시코르스키 보조정리의 증명:

${\mathcal {D}}=\{D_{1},D_{2},\dots \}$라고 하자. 그렇다면, 원소열 $(x_{i})_{i=0}^{\infty }\in P$을 다음과 같이 정의하자.

• $x_{0}=x$
• $x_{i}\in P$가 주어졌을 때, $D_{i+1}$이 공시작 집합이므로, $x_{i+1}\lesssim x_{i}$인 $x_{i+1}\in D_{i+1}$를 선택 공리를 사용하여 고른다.

그렇다면

$F=\uparrow \{x_{0},x_{1},x_{2},\dots \}=\bigcup _{i=0}^{\infty }\uparrow \{x_{i}\}$

는 ${\mathcal {D}}$-일반 필터이다. (여기서 $\uparrow$는 상폐포를 뜻한다.)

응용

흔히, 강제법에서는 집합론의 표준 추이적 모형 $\langle M,\in \rangle$을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합 $P$ 속의, $M$의 원소인 공시작 집합들의 집합

${\mathcal {D}}=\operatorname {Coinit} (P,\lesssim )\cap M$

에 대한 ${\mathcal {D}}$-포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.^{:202, Chapter 14}

역사

라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 헬레나 라시오바와 로만 시코르스키가 증명하였다. 그들은 이를 이용해 괴델의 완전성 정리를 집합론적인 접근법으로 증명했다.