플랑슈렐 정리

수학에서 플랑슈렐 정리 또는 파르스발-플랑슈렐 항등식은 1910년 스위스 수학자 미셸 플랑슈렐이 증명한 조화해석학의 정리이다. 이는 푸리에 변환의 유니터리성을 보여주는 정리로서, 파르스발 정리의 일반화라 볼 수 있다.

플랑슈렐 정리에 따르면 함수의 제곱의 적분은 해당 주파수 스펙트럼의 제곱의 적분과 같다. 즉, $f(x)$가 실수 집합에서 정의된 함수이고, ${\widehat {f}}(\xi )$가 그 주파수 스펙트럼이면,

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi .$

정의

함수가 두 르베그 공간 $L^{1}(\mathbb {R} )$과 $L^{2}(\mathbb {R} )$에 모두 속하면 그 푸리에 변환은 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 안에 있고, 푸리에 변환 사상은 L² 노름에 대한 등장사상이다. 이는 $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$으로 제한된 푸리에 변환 사상을 $L^{2}(\mathbb {R} )$위의 선형 등장사상으로 확장하는 방법은 유일함을 뜻한다(이를 플랑슈렐 변환이라고도 한다). 이 등장사상은 실제로 유니터리 사상이다. 이는 제곱 적분 가능한 함수의 푸리에 변환에 대해 말하는 것을 가능하게 한다.

플랑슈렐의 정리는 n차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서도 성립한다. 이 정리는 또한 국소 콤팩트 아벨 군에서도 일반적으로 성립한다. 특정 기술적 가정을 만족하는 비가환 국소 콤팩트 군에 적합한 플랑슈렐 정리 버전도 있다. 이것은 비가환 조화해석학의 주제이다.

편극 항등식 때문에 플랑슈렐의 정리를 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 두 함수의 내적에 적용할 수 있다. 즉, 만약 $f(x)$과 $g(x)$이 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 함수이고 ${\mathcal {P}}$가 플랑슈렐 변환을 나타내면, $$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,$$이고 만약에 $f(x)$과 $g(x)$가 더욱이 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 함수이면, $$({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$ 그리고 $$({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$ 그래서

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$

같이 보기

• 구면 함수에 대한 플랑슈렐 정리

참고자료

• Plancherel, Michel (1910), “Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies”, 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877, S2CID 122509369 .
• Dixmier, J. (1969), 《Les C*-algèbres et leurs Représentations》, Gauthier Villars .
• Yosida, K. (1968), 《Functional Analysis》, Springer Verlag .

외부 링크

• “Plancherel theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Plancherel's Theorem on Mathworld