하이브리드 시스템

하이브리드 시스템(hybrid system)은 연속적인 동적 동작과 이산적인 동적 동작을 모두 나타내는 동역학계이다. 즉, 흐름(결과 미분방정식)과 점프(결과 유한 상태 기계, 오토마타, 또는 점화식)를 모두 할 수 있는 시스템이다. 종종 "하이브리드 시스템"이라는 용어 대신 "하이브리드 동역학계"라는 용어가 사용되는데, 이는 신경망과 퍼지 논리의 결합, 또는 전기 및 기계 구동계의 결합과 같은 "하이브리드 시스템"의 다른 사용법과 구별하기 위함이다. 하이브리드 시스템은 그 구조 내에 더 큰 범위의 시스템을 포함하여 동적 현상 모델링에 더 많은 유연성을 제공한다는 이점이 있다.

일반적으로 하이브리드 시스템의 상태는 연속 변수의 값과 이산 모드로 정의된다. 상태는 흐름 조건에 따라 연속적으로 변하거나, 제어 그래프에 따라 이산적으로 변한다. 소위 불변 조건이 유지되는 한 연속적인 흐름이 허용되며, 주어진 점프 조건이 충족되는 즉시 이산적인 전이가 발생할 수 있다. 이산적인 전이는 이벤트와 관련될 수 있다.

예시

하이브리드 시스템은 충격이 있는 물리계, 논리-동적 제어기, 심지어 인터넷 혼잡을 포함한 여러 가상 물리 시스템을 모델링하는 데 사용되었다.

튀어 오르는 공

하이브리드 시스템의 전형적인 예는 충격이 있는 물리 시스템인 튀어 오르는 공이다. 여기서 공(점 질량으로 간주)은 초기 높이에서 떨어져 땅에 부딪히며, 각 반동마다 에너지를 소산시킨다. 공은 각 반동 사이에 연속적인 동역학을 나타낸다. 그러나 공이 땅에 부딪히면 그 속도는 비탄성 충돌을 모방한 이산적인 변화를 겪는다. 튀어 오르는 공에 대한 수학적 설명은 다음과 같다. $x_{1}$을 공의 높이, $x_{2}$를 공의 속도라고 하자. 공을 설명하는 하이브리드 시스템은 다음과 같다.

$x\in C=\{x_{1}>0\}$일 때, 흐름은 다음 방정식에 의해 지배된다. ${\dot {x}}_{1}=x_{2},{\dot {x}}_{2}=-g$, 여기서 $g$는 중력 가속도이다. 이 방정식들은 공이 지면 위에 있을 때 중력에 의해 지면으로 끌려 내려감을 나타낸다.

$x\in D=\{x_{1}=0\}$일 때, 점프는 다음 방정식에 의해 지배된다. $x_{1}^{+}=x_{1},x_{2}^{+}=-\gamma x_{2}$, 여기서 $0<\gamma <1$은 소산 계수이다. 이는 공의 높이가 0일 때(지면에 부딪혔을 때), 그 속도가 역전되고 $\gamma$만큼 감소함을 의미한다. 효과적으로 이는 비탄성 충돌의 특성을 설명한다.

튀어 오르는 공은 특히 흥미로운 하이브리드 시스템인데, 이는 제논의 역설을 나타내기 때문이다. 제논 역설은 엄격한 수학적 정의를 가지고 있지만, 비공식적으로는 유한한 시간 안에 시스템이 무한한 수의 점프를 하는 것으로 설명될 수 있다. 이 예에서 공이 튀어 오를 때마다 에너지를 잃고, 그 결과로 이어지는 점프(지면과의 충격)는 시간이 지남에 따라 점점 더 가까워진다.

지면과 공 사이의 접촉력을 추가해야만 동적 모델이 완전하다는 점은 주목할 가치가 있다. 사실, 힘이 없다면 튀어 오르는 공을 제대로 정의할 수 없으며, 기계적인 관점에서 모델은 무의미하다. 공과 지면 사이의 상호작용을 나타내는 가장 간단한 접촉 모델은 힘과 거리(틈새) 사이의 상보성 관계이다. 이는 다음과 같이 작성된다. $0\leq \lambda \perp x_{1}\geq 0.$ 이러한 접촉 모델은 자기력이나 접착 효과를 포함하지 않는다. 상보성 관계가 포함되면, 충격이 누적되어 사라진 후에도 시스템을 계속 통합할 수 있다. 시스템의 평형은 접촉력 $\lambda$에 의해 상쇄되는 중력의 작용 하에 지면 위 공의 정적 평형으로 잘 정의된다. 또한 기본 볼록 해석에서 상보성 관계가 정규 원뿔에 대한 포함으로 동등하게 다시 작성될 수 있으므로, 튀어 오르는 공의 동역학은 볼록 집합에 대한 정규 원뿔로의 미분 포함이다. 아래 인용된 Acary-Brogliato의 책(Springer LNACM 35, 2008)의 1, 2, 3장을 참조하라. 비평활 역학에 대한 다른 참고 자료도 참조하라.

하이브리드 시스템 검증

하이브리드 시스템의 속성(예: 아래 언급된 도구 중 일부)을 자동으로 증명하는 접근 방식이 있다. 하이브리드 시스템의 안전성을 증명하기 위한 일반적인 기술로는 도달 가능한 집합 계산, 추상화 정제, 장벽 인증서 등이 있다.

대부분의 검증 작업은 결정 불가능하며, 일반적인 알고리즘은 불가능하다. 대신, 도구는 벤치마크 문제에 대한 기능에 대해 분석된다. 이에 대한 가능한 이론적 특성화는 모든 견고한 경우에서 하이브리드 시스템 검증에 성공하는 알고리즘으로, 이는 하이브리드 시스템에 대한 많은 문제가 결정 불가능하지만 적어도 준결정적이라는 것을 의미한다.

기타 모델링 접근 방식

하이브리드 시스템 모델링 접근 방식은 암시적 접근 방식과 명시적 접근 방식의 두 가지로 분류할 수 있다. 명시적 접근 방식은 종종 하이브리드 오토마톤, 하이브리드 프로그램 또는 하이브리드 페트리 네트로 표현된다. 암시적 접근 방식은 종종 활성 방정식이 변경될 수 있는 미분 대수 방정식(DAE) 시스템을 만들기 위해 가드 방정식으로 표현된다. 예를 들어 하이브리드 본드 그래프를 통해서 변경될 수 있다.

하이브리드 시스템 분석을 위한 통합 시뮬레이션 접근 방식으로는 DEVS 형식론에 기반한 방법이 있는데, 여기서 미분 방정식의 적분기가 원자적 DEVS 모델로 양자화된다. 이러한 방법은 이산 시간 시스템과는 다른 이산 이벤트 시스템 방식으로 시스템 동작의 추적을 생성한다. 이 접근 방식에 대한 자세한 내용은 [Kofman2004] [CF2006] [Nutaro2010] 및 소프트웨어 도구 PowerDEVS에서 찾을 수 있다.

같이 보기

• 하이브리드 오토마톤
• 슬라이딩 모드 제어
• 가변 구조 시스템
• 가변 구조 제어
• 조인트 스펙트럼 반경
• 가상 물리 시스템
• 행동 트리 (인공지능, 로봇공학 및 제어)
• 점프 과정 (확률의 맥락에서), 흐름 구성 요소가 0인 (확률적) 하이브리드 시스템의 예시
• 조각별 결정론적 마르코프 과정(PDMP), (확률적) 하이브리드 시스템의 예시이자 점프 과정의 일반화
• 점프 확산, (확률적) 하이브리드 시스템의 예시이자 PDMP의 일반화

추가 자료

• Henzinger, Thomas A. (1996), 〈The Theory of Hybrid Automata〉, 《11th Annual Symposium on Logic in Computer Science (LICS)》, IEEE Computer Society Press, 278–292쪽, 2010년 1월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서 
• Alur, Rajeev; Courcoubetis, Costas; Halbwachs, Nicolas; Henzinger, Thomas A.; Ho, Pei-Hsin; Nicollin, Xavier; Olivero, Alfredo; Sifakis, Joseph; Yovine, Sergio (1995), “The algorithmic analysis of hybrid systems”, 《Theoretical Computer Science》 138 (1): 3–34, doi:10.1016/0304-3975(94)00202-T, hdl:1813/6241, 2010년 1월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서 
• Goebel, Rafal; Sanfelice, Ricardo G.; Teel, Andrew R. (2009), “Hybrid dynamical systems”, 《IEEE Control Systems Magazine》 29 (2): 28–93, doi:10.1109/MCS.2008.931718, S2CID 46488751 
• Acary, Vincent; Brogliato, Bernard (2008), 《Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems》, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics 35, doi:10.1007/978-3-540-75392-6, ISBN 978-3-540-75391-9 
• [Kofman2004] Kofman, E (2004), “Discrete Event Simulation of Hybrid Systems”, 《SIAM Journal on Scientific Computing》 25 (5): 1771–1797, Bibcode:2004SJSC...25.1771K, CiteSeerX 10.1.1.72.2475, doi:10.1137/S1064827502418379 
• [CF2006] Francois E. Cellier and Ernesto Kofman (2006), 《Continuous System Simulation》 fir판, Springer, ISBN 978-0-387-26102-7 
• [Nutaro2010] James Nutaro (2010), 《Building Software for Simulation: Theory, Algorithms, and Applications in C++》 fir판, Wiley 
• Brogliato, Bernard; Tanwani, Aneel (2020), “Dynamical systems coupled with monotone set-valued operators: Formalisms, Applications, well-posedness, and stability” (PDF), 《SIAM Review》 62 (1): 3–129, doi:10.1137/18M1234795, S2CID 212727046 

외부 링크

• IEEE CSS 하이브리드 시스템 위원회