D-матриця Вігнера

$D$-матриця Вігнера є матрицею незвідного представлення груп SU (2) і SO (3). Комплексне спряження $D$-матриці є власною функцією гамільтоніана сферичних і симетричних жорстких ротаторів. Матриця була введена в 1927 році Юджином Вігнером.

Означення D-матриці Вігнера

Нехай $J_{x}$, $J_{y}$, $J_{z}$ утворюють алгебри Лі $\mathrm {SU} (2)$ і $\mathrm {SO} (3)$. У квантовій механіці ці три оператори є компонентами векторного оператора відомого як кутовий момент. Прикладами можуть служити момент електрона в атомі, електронний спін і момент кількості руху жорсткого ротатора. У всіх випадках три оператори задовольняють наступним комутаційним співвідношенням

$[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},$

де $i$ це уявна одиниця і стала Планка $\hbar$ задана рівною одиниці. Оператор

$J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$

є оператором Казиміра з $\mathrm {SU} (2)$ (або $\mathrm {SO} (3)$, в залежності від обставин). Він може бути діагоналізований разом з $J_{z}$ (вибір цього оператора визначається угодою), який комутує з $J^{2}$. Тобто, можна показати, що існує повний набір кетів з

$J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,$

де $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ і $m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j$. Для $\mathrm {SO} (3)$ квантове число $j$ є цілим.

Оператор повороту можна записати у вигляді

${\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\alpha J_{z}},$

де $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ — кути Ейлера.

$D$-матриця Вігнера є квадратною матрицею розмірності $2j+1$ із загальним елементом

$D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.$

Матриця з загальним елементом

$d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle$

відома як мала $d$-матриця Вігнера.

Список елементів d-матриці

для $j=1/2$

• $d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
• $d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

для $j=1$

• $d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$
• $d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}$
• $d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}$
• $d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

для $j=3/2$

• $d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$
• $d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}$

для $j=2$

• $d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
• $d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
• $d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta$
• $d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
• $d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
• $d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
• $d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta$
• $d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
• $d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Елементи $d$-матриці Вігнера із зворотними нижніми індексами знаходяться за наступним співвідношенням:

$d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m'}^{j}$.

Див. також

• Коефіцієнти Клебша — Ґордана