Diskussion:Normalenform

Schönen Dank an Head --Carter666

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Korrekt muss es heißen: Normalgleichung sowie Normalform

aber: Normalenvektor

Quelle: Bronstein, Taschenbuch der Mathematik

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Hey, die Schreibweise des Skalarproduktes mit spitzen Klammern ist zwar in der Quantenmechanik üblich (bra- und ket-Vektor), aber in der analytischen Geometrie finde ich sie eher verwirrend. Können wir da nicht einfach

${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-{\vec {a}}\cdot {\vec {n}}=0$

schreiben und sagen, dass $\cdot$ hier für das Skalarprodukt steht? Ich weiß, es ist ein Problem. So viele Autoren, so viele Schreibweisen. Ein Wissenschaftler benutzt eher die Zahnbürste seines Kollegen als seine Nomenklatur. Ich dachte auch eher an Benutzer wie Schüler, die durch sowas wohl verwirrt werden.

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Also, in den anderen Artikeln dieses Themenkreises steht auch keine spitze Klammer, ich mach das jetzt einfach mal.

Notation

Warum wird ${\vec {a}}$ genutzt, wenn der in der Zeichnung nicht vorkommt? ${\vec {a}}$ soll doch ${\vec {r}}_{S}$ (QO) sein, also der Ortsvektor zu einem Punkt in der Ebene. Dann würde ich vorschlagen, den auch so zu nennen, oder aber ${\vec {a}}$ in die Zeichung einzutragen.

Insgesammt wäre es am einfachsten, ${\vec {r}}_{S}$ in ${\vec {r}}_{Q}$ für den Ortsvektor vom Punkt Q umzubenennen, ${\vec {r}}$ in ${\vec {r}}_{P}$ für den Ortsvektor von P und ${\vec {r}}_{P}$ in ${\vec {r}}$ für QP. Damit würde der Index sich auf das Koordinatensystem beziehen. Ehrlich gesagt finde ich es im Augenblick eher verwirrend als hilfreich. --Keru 10:24, 1. Jun. 2010 (CEST)

In der Schulmathematik ist diese Schreibweise eher nicht üblich. Der Brauch, Ortsvektoren als ${\vec {r}}$ zu bezeichnen, stammt aus der Physik. In der Schulmathematik werden Ortsvektoren in der Regel entsprechend zu den zugehörigen Punkten bezeichnet: Der Ortsvektor des Punkte $P$ wird entweder ganz explizit als \overrightarrow{OP} bezeichnet, oder mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben: ${\vec {p}}$. -- Digamma 12:12, 3. Jul. 2010 (CEST)

Allgemeine Beschreibung

Wäre es nicht auch sinnvoll zu erklären um was es hier überhaupt geht. Man kommt auf die Seite und will etwas über den Begriff Normalgleichung wissen, leider verliert hier niemand auch nur ein Wort darüber. Das einzige was man sieht sind mathematische Formeln. Wäre nett wenn jemand mit KnowHow ein paar einfache einführende Worte verlieren könnte. (nicht signierter Beitrag von THE ONE (Diskussion | Beiträge) 18:13, 31. Jul 2009 (CEST))

Der Artikel ist inzwischen grundlegend überarbeitet worden. Ich denke, dass dein Anliegen damit erfüllt ist. --Digamma (Diskussion) 22:22, 1. Mai 2014 (CEST)

Ebene

Es ist nicht recht klar, was der Mehrwert dieses Artikels gegenüber https://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_(Mathematik)#Normalenform ist. (Mit Ausnahme der schönen Bilder natürlich.) Jedenfalls sollte man von dort auf den Hauptartikel verlinken, wenn er denn überhaupt sinnvoll ist.--Café Bene (Diskussion) 06:31, 26. Okt. 2013 (CEST)

Ich denke, dass ein eigener Artikel "Normalenform" nicht sinnvoll ist. Ich würde jedoch den ganzen Abschnitt "Ebenengleichung" im Artikel "Ebene" in einen eigenen Artikel Ebenengleichung auslagern. Da kann man dann auch die Bilder unterbringen. --Digamma (Diskussion) 10:57, 26. Okt. 2013 (CEST)

Siehe auch Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Koordinatenform. --Digamma (Diskussion) 11:08, 26. Okt. 2013 (CEST)

Lambda

Im Artikel fehlt, dass zur Normalenform einer Ebene

$({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0$

alternativ auch oft die "ausmultiplizierte Variante" angegeben wird

${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-\lambda =0$

Sollte imo hinzugefügt werden, oder?

--arilou (Diskussion) 13:54, 10. Mär. 2021 (CET)

Habe ich so noch nicht gesehen, insbesondere nicht in der Version, dass die Konstante $\lambda$ heißt. Aber wenn du Quellen dafür hast, kannst du es gerne ergänzen. --Digamma (Diskussion) 22:00, 10. Mär. 2021 (CET)

Bedingungen an Normalenvektor

Gibt es irgendwelche Bedingungen an ${\vec {n}}$, außer, dass er senkrecht aud der Geraden stehen muss? Ich frage deshalb, weil im Video von Edmund Weitz zur Hesseschen Normalform gesagt wird, dass der Normalenvektor in die Richtung vom Nullpunkt wegzeigt (siehe https://www.youtube.com/watch?v=wMaIRsxmmpI bei ca. 11:18). Ich weiß nicht, ob man das schon für die "allgemeine" Normalenform verlangt. Wenn nicht, so ist jedoch sicherlich der Satz "Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}$ auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite." am Ende des Abschnitts Normalenform#Darstellung an der Stelle falsch und sollte entfernt werden. --Mathze (Diskussion) 11:20, 7. Mär. 2025 (CET)

Ich habe die Aussage rausgenommen. --Mathze (Diskussion) 21:00, 8. Mär. 2025 (CET)

Die Forderung, dass der Normalenvektor vom Ursprung wegzeigt, wird nur bei der Hesse-Normalenform verlangt. So wird das auch im Video gesagt. Die Aussage, dass ein Punkt, für den ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}$ gilt, auf der Seite der Geraden liegt, in die der Normalenvektor zeigt, sollte aber immer richtig sein. --Digamma (Diskussion) 22:21, 8. Mär. 2025 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich habe die Infomration wieder reingenommen, jedoch unter einen eigenen Abschnitt "Eigenschaften", da es ja ncihts mit der Darstellung als solche zu tun hat. --Mathze (Diskussion) 09:57, 9. Mär. 2025 (CET)

Aussagekräftigere Grafik für die Normalenform der Geradengleichung

Ich finde die jetzige Grafik für die Normalenform der Geradengleichung etwas wenig aussagekräftig und auch etwas irreführend. Konkret suggeriert sie, dass der Normalenvektor am Aufpunkt ansetzen muss, was jedoch nicht der Fall ist. Außerdem geht aus ihr nicht hervor, wie man zur Normalenform kommt. Dazu müsste man noch einen beliebigen weiteren Punkt auf der Geraden betrachten, der durch den Vektor ${\vec {x}}$ repräsentiert wird, und dann noch ${\vec {x}}-{\vec {p}}$. Dann lässt sich schön erkennen, dass gilt:

${\vec {x}}\in g\Leftrightarrow {\vec {x}}-{\vec {p}}\parallel g\Leftrightarrow {\vec {x}}-{\vec {p}}\perp {\vec {n}}\Leftrightarrow ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0$

Ich schlage deshalb vor, die Grafik durch eine aussagekräftigere Grafik zu ersetzen, die diese Aspekte berücksichtigt. Ich würde diese Grafik auch selbst erstellen. Kennt jemand ein geeignetes Programm dazu? --Mathze (Diskussion) 13:16, 7. Mär. 2025 (CET)

Servus @Mathze, meinst du die Grafik mit der grünen Ebene? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 16:29, 7. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Petrus3743. Ich meine die erste Grafik im Artikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Normalenform#/media/Datei:Line_equation_qtl3.svg --Mathze (Diskussion) 17:14, 7. Mär. 2025 (CET)

Nun, wenn du willst suche ich ein geeignetes Bild, ich konstruiere gerne.--Petrus3743 (Diskussion) 18:44, 7. Mär. 2025 (CET)

Hallo Petrus, vielen Dank für Deine Hilfe, die ich gerne annehme :). Ich finde es von der Idee her hier ganz gut: https://www.youtube.com/watch?v=oEYSENIUFa0, wobei ich den Vektor ${\vec {y}}$ weglassen würde, der überlagert die Grafik meines Erachtens nur zusätzlich ohne Mehrwert. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 18:59, 7. Mär. 2025 (CET)

Meinen Vorschlag kannst du hier sehen. Pardon ich muss noch die Lage der Normalen korrigiern.erledigtErledigt --Petrus3743 (Diskussion) 20:04, 7. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Petrus3743, das sieht perfekt aus! Willst Du es in den Artikel einbinden? Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 21:52, 7. Mär. 2025 (CET)

Servus @Mathze, das habe ich gerne gemacht! Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 22:29, 7. Mär. 2025 (CET)

Ich habe eine Frage: Du hast diese Grafik mit Geogebra erstellt. Wie kann man sie so abspeichern, dass der Hintergrund "durchsichtig" ist (anstatt weiß)? --Mathze (Diskussion) 09:33, 8. Mär. 2025 (CET)

Klicke im Fenster Dateiname.ggb die Reihenfolge: Datei $\Rightarrow$ Export $\Rightarrow$ Grafik-Ansicht als Bild (png,eps)... $\Rightarrow$ im Fenster „Export als Bild” $\Rightarrow$ Format:Skalierbare Vektorkrafiken (svg), bei Transparent muss jetzt ein Häkchen sein $\Rightarrow$ mit dem Maßstab in cm bestimmst du die Größe des Bildes (z.B. meine beiden letzten Bilder haben die Größe 6.81 cm x 6.73 cm) $\Rightarrow$ Speichern. Viel Erfolg!--Petrus3743 (Diskussion) 10:20, 8. Mär. 2025 (CET)

Servus @Mathze, kann es sein, dass ich deine Frage falsch verstanden habe? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 07:07, 9. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Petrus3743, Du hast meine Frage richtig verstanden, vielen Dank für Deine Antwort! --Mathze (Diskussion) 09:50, 9. Mär. 2025 (CET)

"Konkret suggeriert sie, dass der Normalenvektor am Aufpunkt ansetzen muss, was jedoch nicht der Fall ist."

Ich fände es aber sinnvoll, wenn die beiden orthogonalen Vektoren ${\vec {p}}-{\vec {x}}$ und ${\vec {n}}$ am selben Punkt ansetzen. --Digamma (Diskussion) 10:12, 8. Mär. 2025 (CET)

Servus Digamma, warum fändest du es sinnvoll, wenn die beiden orthogonalen Vektoren ${\vec {p}}-{\vec {x}}$ und ${\vec {n}}$ am selben Punkt ansetzen? Siehe Uni-Beispiel [1], da beschreibt es Edmund Weitz nicht so. Man könnte auch zwei Normalenvektoren zeigen ${\vec {n}},\;{\vec {n}}'...$. Siehe Beispiel. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:25, 8. Mär. 2025 (CET)

Wenn es deine Zeit erlaubt, würde ich mich über eine Antwort freuen. Sollten meine zwei diesbezügliche Bilder falsch sein, würde ich sie selbstverständlich korrigieren. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 09:10, 9. Mär. 2025 (CET)

Wenn man die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts zeichnerisch darstellen möchte, kenne ich es eigentlich nur so, dass man die zwei Vektoren (in diesem Fall n und x - p) am selben Punkt angreifen lässt. --Digamma (Diskussion) 17:19, 10. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Digamma, ja, da hast Du recht. Man kann hier leider nicht allen Anschauungen gerecht werden und es didaktisch nicht perfekt machen. Entweder man zeichnet den Normalenvektor an den Stützvektor, was fälschlicherweise suggeriert, dass das so sein müsse. Dann passt es von der Darstellung des Skalarprodukts aber. Oder man geht den anderen Weg, dann vermeidet man die Fehlvorstellung, dass der Normalenvektor nicht örtlich vom Stützvektor ansetzen muss, dafür macht man dann Abstriche bei der Anschaulichkeit des Skalarprodukts. Vielleicht wären auch einfach zwei Grafiken die Lösung. --Mathze (Diskussion) 21:10, 10. Mär. 2025 (CET)

Guten Abend @Digamma und @Mathze,
der Hinweis von Digamma bezüglich Position des Normalenvektors ${\vec {n}}$ hat mich zum Nachdenken gebracht.

Unter Darstellung heißt es im Artikel:

In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor ${\vec {p}}$ und einen Normalenvektor ${\vec {n}}$ beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

$({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\quad$bzw. äquivalent hierzu$\quad {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}$

erfüllen.

M. E. bedeutet dies, dass nur der Stützvektor ${\vec {p}}$ und der Normalenvektor ${\vec {n}}$ gegeben sein muss. Das heißt auch, ein Ortsvektor ${\vec {x}}$ und damit eine Differenz $({\vec {x}}-{\vec {p}})$ ist für die Konstruktion der Normalenform einer Geradengleichung nicht erforderlich. Nun ist es doch prinzipiell egal, ob der gegebene Normalenvektor ${\vec {n}}$ direkt an den Stützvektor ${\vec {p}}$ anschließt, oder einen Abstand zu ${\vec {p}}$ hat. Gesucht ist die Gerade $g$, die mit ${\vec {n}}$ einen rechten Winkel einschließt.

Eine geometrische Konstruktion ist einfacher, wenn der gegebene Normalenvektor ${\vec {n}}$ nicht an ${\vec {p}}$ anschließt. Dann braucht man nur die Gerade $g$ durch den Anfangspunkt des Normalenvektors ${\vec {n}}$ und den Endpunkt des Stützvektors ${\vec {p}}$ ziehen, und erhält somit den rechten Winkel von ${\vec {n}}$ auf die Gerade $g$. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 19:58, 9. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Petrus3743, aus p und n ergibt sich die Geradengleichung. Dabei spielt die "Lage" von n keine Rolle, sondern nur die Orientierung. (Die Lage von p spielt streng genommen auch keine Rolle, aber hier sollte man dann doch Rücksicht auf die Anschauung nehmen.) Ich habe ja schon gesagt, dass ich die Grafiken perfekt finde, wenn @Digamma Einwände hat, sollten diese mit ihm geklärt werden. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 20:52, 9. Mär. 2025 (CET)

Servus @Mathze, aus der Zeichnung sollten wegen Redundanz, der Ortsvektor ${\vec {x}}$ und die Differenz $({\vec {x}}-{\vec {p}})$ gelöscht werden. Beide sind für eine Konstruktion nicht erforderlich. Viele Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 21:58, 9. Mär. 2025 (CET)

Das stimmt, aber dann ist die Grafik nicht mehr sprechend und die Grundidee der Normalenform nicht mehr nachvollziehbar. Das war ja der Grund, warum ich die alte Grafik, in der x und x-p nicht eingezeichnet waren, moniert habe. Ich zumindest musste erst das Video mit Grafik von Herrn Weitz schauen, um eine Intuition für die Normalenform zu bekommen. Davor war mir völlig unklar, wieso x*n=p*n eine Gerade beschreibt. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 07:49, 10. Mär. 2025 (CET)

OK, kein Problem, dann werde ich die noch fehlende Info wieder einarbeiten. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:05, 10. Mär. 2025 (CET)erledigtErledigt

Es geht nucht um eine Konstruktion, sondern darum, die Bedeutung der Gleichung zu veranschaulichen. --Digamma (Diskussion) 16:33, 10. Mär. 2025 (CET)

Ja, dann sag' doch bitte, was ist an den beiden Darstellungen richtig bzw. falsch?--Petrus3743 (Diskussion) 17:41, 10. Mär. 2025 (CET)

Servus @Mathze, bin gerade dabei 2 Bilder zu generieren bezüglich Normalenform einer Ebenengleichung analog zur Normalenform einer Geradengleichung also auch mit Ortsvektor ${\vec {x}}$ und die Differenz $({\vec {x}}-{\vec {p}})$, Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 20:21, 10. Mär. 2025 (CET)

Super, vielen Dank! --Mathze (Diskussion) 21:06, 10. Mär. 2025 (CET)

Nach meiner Meinung sind beide Zeichnungen der aktuellen Artikelversion noch nicht optimal. (Die erste der Zeichnungen ist sinnvoller als die zweite.) Ich gehe davon aus, dass die typischen Leser des Artikels eher aus dem schulischen Bereich kommen. Es geht darum zu erläutern, dass wegen des rechten Winkels zwischen Gerade und Normalenvektor das Skalarprodukt ${\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {p}})$ gleich 0 ist. In der Schule wird das Skalarprodukt nicht als positiv definite symmetrische Bilinearform eingeführt, sondern (wie bei den Physikern) als Produkt:

Betrag des ersten Vektors mal Betrag des zweiten Vektors mal Kosinus des von den Vektorpfeilen eingeschlossenen Winkels (hier gleich 0)

In den typischen Skizzen zu dieser anschaulichen Definition (siehe z. B. Artikel Skalarprodukt) haben die beteiligten Vektorpfeile den gleichen Anfangspunkt. Als gemeinsamer Anfangspunkt kommt also nur der Punkt P in Frage. Hier sollten die Pfeile für ${\vec {n}}$ und ${\vec {x}}-{\vec {p}}$ eingezeichnet werden. Zu markieren wäre der Winkel, der von diesen Pfeilen eingeschlossen wird (nicht wie bisher der Nebenwinkel, auch wenn der natürlich auch ein rechter Winkel ist). --Wfstb (Diskussion) 12:33, 11. Mär. 2025 (CET)

Vielen Dank für Deine Antwort, @Wfstb. @Petrus3743 arbeitet gerade an den Grasfiken, veilleicht kann er Deine Vorschläge, die ich gut begründet finde, umsetzen. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 13:28, 11. Mär. 2025 (CET)

Servus @Wfstb, vielen Dank für deine konstruktiven Hinweise. Jetzt sollte es passen, bitte um Rückmeldung. Der 90° Winkel ist auf jene Seite eingetragen, wo keine Pfeile sind (ist natürlich auch korrekt.) Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 16:43, 11. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Petrus3743, es tut mir leid, aber ich habe noch einen Fehler entdeckt, der mir bisher nicht aufgefallen ist. In beiden Zeichnungen muss der Pfeil für ${\vec {x}}-{\vec {p}}$ umgekehrt werden. Die Vektorsumme ${\vec {p}}+({\vec {x}}-{\vec {p}})$ sollte mit ${\vec {x}}$ übereinstimmen. Gruß --Wfstb (Diskussion) 17:25, 11. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Wfstb, das schaffen wir schon... Sieh dir die Änderung vorab in GeoGebra an. Passt es so?--Petrus3743 (Diskussion) 17:52, 11. Mär. 2025 (CET)

Hallo @Petrus3743, der Teufel steckt im Detail. Die Pfeilrichtung stimmt jetzt, aber die Markierung für den rechten Winkel wäre zwischen den beiden von P ausgehenden Vektorpfeilen sinnvoller. Um das zu realisieren, wäre ein Punkt X auf der anderen Seite von P günstiger. --Wfstb (Diskussion) 18:03, 11. Mär. 2025 (CET)

OK @Wfstb, ich ändere gerne, aber wo der rechte Winkel eingezeichnet ist doch m.E. richtig. Der Ergänzungswinkel ist doch auch 90°. Bitte sieh dir auch die letzten Änderungen eines IP an, dies kann ich nicht bewerten.--Petrus3743 (Diskussion) 18:09, 11. Mär. 2025 (CET)

Sieh dir bitte einmal den Stand vom 16:19, 11. Mär. 2025, der war vor deinem Hinweis um 17:25, 11. Mär. 2025. Könnte es sein, dass du noch den alten Stand im Browser gespeichert hattest?

@Wfstb, aktueller Stand in GeoGebra, ist es so OK?----Petrus3743 (Diskussion) 19:23, 11. Mär. 2025 (CET)

Die Pfeilspitze von ${\vec {x}}-{\vec {p}}$ muss unbedingt bei X sein, also bei $(4|2)$. Der Normalenvektor ${\vec {n}}$ sollte nach rechts gezeichnet werden, mit Spitze bei $(7|3)$, damit der Pfeil von ${\vec {p}}$ nicht durch die Winkelmarkierung geht. Die Winkelmarkierung selbst wäre dann unterhalb von P (von den Pfeilen ${\vec {n}}$ und ${\vec {x}}-{\vec {p}}$ eingeschlossen). Für den Fall, dass es Platzprobleme gibt, könnte man auch alle Punkte weiter nach links setzen. Gruß --Wfstb (Diskussion) 09:06, 12. Mär. 2025 (CET)

Vielen Dank, für die vorbildliche Erklärung. Sie hat mir, aufgrund der nicht mehr ausreichenden Kenntnissen bezüglich der Vektoren, wirklich sehr geholfen. Zusätzlich sind jetzt für die Koordinatendarstellung noch die Achsen mit $x_{1}$ und $x_{2}$ beschriftet. Diese prinzipielle Form werde ich auch für die in Arbeit befindliche Normalenform einer Ebenengleichung verwenden. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:16, 12. Mär. 2025 (CET) erledigtErledigt Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 00:35, 14. Mär. 2025 (CET)

Ebenfalls danke für die grafische Umsetzung! In meinen Augen ist es jetzt perfekt. Gruß --Wfstb (Diskussion) 10:39, 12. Mär. 2025 (CET)

Grafik für Herleitung

Ist die Grafik in der Herleitung allgemein verständlich bzw. aussagekräftig? Wenn nein, wie würde sich ein neues Bild von der Grafik in der Darstellung zur Normalenform einer Ebenengleichung unterscheiden? Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 07:33, 17. Mär. 2025 (CET)

Das ist eine ziemlich aufwändig gestaltete Grafik aus der Pionierzeit von Wikipedia. Ich habe ein wenig Probleme, mir anhand dieser Grafik die räumliche Lage vorzustellen. Bild 4 weiter oben finde ich leichter verständlich. Nach meiner Ansicht verwirren die Koordinatenebenen eher als dass sie nützen. --Wfstb (Diskussion) 10:12, 17. Mär. 2025 (CET)

Ich hatte das gleiche Verständnisproblem, deshalb meine Fragen.

Nun, die Koordinatenebene $x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8$ im Bild 4 liefert die Konstruktion z.B. mit GeoGebra. Warum sollte man diese Info im Bild 4 weglassen?

Würde nach deiner Meinung das Bild 4 als Bild 5 (in diesem Fall ohne der Koordinatenebene und ohne Koordinaten der Punkte ) als Ersatz dienlich sein?

Müßte man dann noch einen Normalenvektor ${\vec {x}}_{s}$ einarbeiten?--Petrus3743 (Diskussion) 11:24, 17. Mär. 2025 (CET)

Ich finde, dass die Herleitung in dieser Form (Aufspaltung in einen Vektor parallel zur Ebene und einen Vektor senkrecht zur Ebene) die Sache unnötig kompliziert macht. Es genügt - wie bei der Gerade im zweidimensionalen Fall - die Ortsvektoren ${\vec {p}}$ (Aufpunkt) und ${\vec {x}}$ (beliebiger Punkt der Ebene), den Verbindungsvektor ${\overrightarrow {PX}}={\vec {x}}-{\vec {p}}$ und den Normalenvektor ${\vec {n}}$ einzuzeichnen. Weil die genannten Vektoren senkrecht zueinander sind, muss das Skalarprodukt ${\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {p}})$ gleich null sein.

Noch eine Bemerkung zum Beispiel weiter oben. Wenn möglich, sollte man einen Normalenvektor mit ganzzahligen Koordinaten verwenden. Dadurch könnte man sich die Multiplikation mit 2 sparen. (Es gibt ja nicht "den" Normalenvektor, sondern unendlich viele.)

Nachtrag: Mit "Koordinatenebenen" waren x-y-, x-z- und y-z-Ebene gemeint, nicht die betrachtete Ebene $x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8$. --Wfstb (Diskussion) 12:07, 17. Mär. 2025 (CET)

Danke für den Hinweis, der Normalenvektor mit ganzen Zahlen als Koordinaten war kein Problem. Was ich noch nicht ganz verstanden habe; was meinst du mit: Mit "Koordinatenebenen" waren x-y-, x-z- und y-z-Ebene gemeint, ...?--Petrus3743 (Diskussion) 18:45, 17. Mär. 2025 (CET)

Vielleicht habe ich mich unklar ausgedrückt. Meine Bemerkung zu den Koordinatenebenen bezog sich auf die Zeichnung von Honina im Abschnitt "Herleitung". Dort sind die Koordinatenebenen (also die Ebenen, die jeweils zwei der drei Koordinatenachsen enthalten) orange bzw. gelb hervorgehoben, was nach meiner Ansicht den Betrachter eher verwirrt. Der Abschnitt "Herleitung" sollte völlig gestrichen werden. Die Erklärung weiter oben, im Abschnitt "Darstellung", reicht völlig aus. --Wfstb (Diskussion) 09:37, 18. Mär. 2025 (CET)

Danke, gute Antwort, das sehe ich auch so! Dann braucht man kein neues Bild. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:48, 18. Mär. 2025 (CET)