Elliptische Modulform

Bei der sog. j-Funktion – hier im kolorierten Schaubild – handelt es sich um eine Modulfunktion. Ihre außerordentliche Symmetrie zeichnet sich durch eine unendliche Anzahl von Funktionalgleichungen (darunter 1-Periodizität und $j(-1/z)=j(z)$) bei gleichzeitiger komplexer Differenzierbarkeit aus.

Elliptische Modulformen umfassen in der Mathematik eine bestimmte Gattung von Funktionen, die eine überaus starke Form der Symmetrie besitzen, und aufgrund ihrer sehr breiten Anwendungsmöglichkeiten wie zum Beispiel in algebraischer, algorithmischer und analytischer Zahlentheorie, Topologie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, komplexer, algebraischer bzw. arithmetischer Geometrie, diskreter Mathematik, Kombinatorik, Funktionentheorie, Stringtheorie, Quantenphysik, Differentialgleichungen und Knotentheorie zu den bedeutendsten Objekten innerhalb der modernen Mathematik bzw. theoretischen Physik gehören. Das Wort „elliptisch“ bedeutet in diesem Kontext, dass die betreffenden Modulformen auf Modulräumen elliptischer Kurven definiert sind. Hierbei ist „Modul“ ein altmodisches Wort für „Parameter, der für ein geometrisches Objekt steht“. In der Literatur wird jedoch dieser Zusatz häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, um welchen Typ Modulform es sich handelt.

Elliptische Modulformen – und ihre Verallgemeinerungen – werden als Kandidaten für eine Vereinheitlichung großer Bereiche der Mathematik und theoretischen Physik gesehen. Damit ist gemeint, dass sie Brücken zwischen mathematischen aber auch physikalischen Theorien bauen, die längere Zeit als verschieden angesehen wurden und teils eine völlig unterschiedliche mathematische Historie und Tradition haben. In manchen Fällen sind solche Zusammenhänge in der Vergangenheit schon gezeigt worden, in anderen Fällen, besonders im Umfeld der Zahlentheorie und Darstellungstheorie, werden sie im Rahmen des Langlands-Programms bis heute nur vermutet. Sehr kurz beschreiben lassen sich diese Zusammenhänge durch ein „gemeinsames Vorhandensein von Symmetrie“. Vereinheitlichende mathematische Theorien sind deshalb von Interesse, da sie gewissermaßen die tiefere „Architektur der Mathematik“ aufzeigen, und durch die dadurch entstehenden Einsichten neue Anwendungsmöglichkeiten schaffen können. In etwa eröffnet sich die Möglichkeiten, Probleme einer Theorie äquivalent in eine andere Theorie zu übertragen, und gegebenenfalls mit den dort vorhandenen Methoden zu lösen. Auch in der theoretischen Physik gelten Modulformen als Bestandteil innerhalb mathematischer Theorien, die tiefere Strukturen hinter dem Aufbau des Universums erklären könnten – etwa im Umfeld der Stringtheorie – ähnlich wie die Riemannsche Geometrie aus der Mathematik die Grundlage für Albert Einsteins Relativitätstheorie bildete, die sich später experimentell bestätigen ließ.

Die Theorie der elliptischen Modulformen ist enorm umfangreich und bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Zwei der sieben Millennium-Probleme der Mathematik – die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer – treffen Aussagen über Objekte – sog. L-Funktionen –, die unmittelbar mit elliptischen Modulformen verknüpft sind. Etwa besagt die Riemannsche Vermutung, dass sämtliche nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf einer gemeinsamen Geraden liegen – und damit die Primzahlen ein „möglichst zufälliges“ Verteilungsmuster aufweisen. Diese Gerade ist eine Spiegelungsgerade für die Werte der Zetafunktion – und diese Symmetrie rührt von einer Modulform her, die mit der Zetafunktion assoziiert ist. Zahlreiche hohe Mathematikpreise wurden für Arbeiten im Bereich der Modulformen vergeben, etwa an Andrew Wiles, Pierre Deligne, Richard Borcherds, Jean-Pierre Serre, Laurent Lafforgue, Ngô Bảo Châu, Richard Taylor, Maryna Viazovska, Dennis Gaitsgory und Kathrin Bringmann.

Um das Konzept einer elliptischen Modulform zu verstehen, kann es helfen, die trigonometrischen Funktionen, wie Sinus und Kosinus, als eine „Vorstufe“ zu sehen. Hier äußert sich die Symmetrie durch deren Periodizität und dem Spiegelungsverhalten an den Achsen bei gleichzeitiger Holomorphie (wenn auf komplexe Zahlen fortgesetzt). Im Falle der Modulformen kommen jedoch neben der Periodizität noch eine unendliche Anzahl weiterer Funktionalgleichungen hinzu, was ihnen erheblich mehr Struktur verleiht. Im einfachsten Falle spricht man bei einer holomorphen Funktion

$f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$ (als Funktion auf der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ der komplexen Zahlen)

von einer ganzen, elliptischen Modulform des Gewichts $k\in \mathbb {Z}$ zur vollen Modulgruppe, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. Funktionalgleichungen: $(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ für alle ganzen Zahlen $a,b,c,d$ mit $ad-bc=1$ und alle $z\in \mathbb {H}$,
2. Wachstumsbedingung: $\lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)$ existiert (mit dem Imaginärteil $\mathrm {Im} (z)$).

Durch die Wahl $a=b=d=1$ und $c=0$ ergibt sich

$f(z+1)=f(z)$,

weshalb jede Modulform eine periodische Funktion ist. Als solche kann sie, wegen ihrer Holomorphie, in eine Fourier-Reihe entwickelt werden:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(f)e^{2\pi inz}$,

wobei die Wachstumsbedingung äquivalent zu $a_{n}(f)=0$ für alle $n<0$ ist. Die Fourier-Koeffizienten tragen oft wichtige, zahlentheoretische Informationen. Zu den einfachsten Beispielen von Modulformen gehören die Eisensteinreihen.

Etwas allgemeiner handelt es sich bei elliptischen Modulformen um auf der oberen Halbebene meromorphe Funktionen, die oberes Transformationsverhalten bezüglich ihrer Funktionswerte respektieren, und am Rand ihres Definitionsbereichs kein zu starkes Wachstum besitzen. Wichtiger Spezialfall ist der Begriff der Modulfunktion, der zum Gewicht $k=0$ korrespondiert und damit zusätzlich eine Form der absoluten Invarianz fordert, was eine höhere Anforderung als denen einer Modulform darstellt.

Als eine besonders prominente Anwendung der Theorie der elliptischen Modulformen gilt der Beweis des Großen Fermatschen Satzes aus der Zahlentheorie, der besagt, dass die Gleichung

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

mit $n\geq 3$ für keine natürlichen Zahlen $x,y,z$ lösbar ist. Das bedeutet beispielsweise, dass eine positive Kubikzahl niemals in zwei positive Kubikzahlen zerfällt, weshalb es zum Beispiel niemals eine Gleichheit etwa zwischen

$15\cdot 15\cdot 15+19\cdot 19\cdot 19$ und $21\cdot 21\cdot 21$

geben kann. Allerdings gilt der Beweis dieser Aussage als äußerst schwierig. Weitere Anwendungen betreffen die Theorie der schwarzen Löcher aus der Physik, aber auch schnelle Methoden zur Berechnung vieler Dezimalstellen der Kreiszahl $\pi =3,141\ldots$.

Die Entdeckungsgeschichte der Modulformen lässt bis in die Anfänge des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen, wo sie besonders mit Namen wie Carl Friedrich Gauß, Gotthold Eisenstein und Carl Gustav Jacobi assoziiert sind. Umfangreiche Forschungsprogramme ab dem 20. Jahrhundert haben jedoch zu sehr weitreichenden Verallgemeinerungen von „klassischen Modulformen“ geführt, und den Begriff der automorphen Formen geprägt, die in der modernen Mathematik primär als Objekte der Darstellungstheorie gesehen werden.

Neben den elliptischen Modulformen wurden viele weitere Arten von Modulformen gefunden, zum Beispiel Jacobiformen, Siegelsche Modulformen, Hilbertsche Modulformen sowie p-adische Modulformen.

Dieser Artikel geht hinsichtlich der mathematischen Details primär auf die Standardsituation der vollen Modulgruppe ein, beleuchtet die Bedeutung der elliptischen Modulformen jedoch im Kontext sämtlicher Kongruenzuntergruppen. Für die mathematischen Details dieser Verallgemeinerung wird auf den Artikel Elliptische Modulformen zu Kongruenzuntergruppen verwiesen.

Grundbegriffe und Hinführung

Komplexe Zahlen und die obere Halbebene

→ Hauptartikel: Komplexe Zahl

Die komplexen Zahlen spannen eine Ebene auf. Dabei existiert die „reelle Richtung“ (Achsenbeschriftung: Re) und die „imaginäre Richtung“ (Achsenbeschriftung: Im).

Illustration der oberen Halbebene.

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$ hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.

Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl $z$ ist von der Form $z=x+iy$ mit reellen Zahlen $x$ und $y$. Geht man $x$ Schritte in „reelle Richtung“ und $y$ Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl $x+iy$ mit dem Punkt $(x,y)$ in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird $x$ als Realteil und $y$ als Imaginärteil von $z$ bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel $i^{2}=-1$ vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel $(-3+2i)+(4+10i)=1+12i$, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$

Dabei entsteht der Term $-bd$ beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt $bidi$. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:

${\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.$

Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, genau wie die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, einen Körper bilden.

Besonders wichtig in der Theorie der Modulformen ist die obere Halbebene der komplexe Zahlen. Dabei handelt es sich um jene komplexe Zahlen, deren Imaginärteil positiv ist. Abgekürzt wird dies in der Literatur häufig mit $\mathbb {H}$ (aber auch ${\mathcal {H}}$ ist eine gängige Notation). In Formeln schreibt man

$\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} \,\,\colon \,\,\mathrm {Im} (z)>0\}.$

Beispielsweise ist $1+i\in \mathbb {H}$, aber $2-3i\notin \mathbb {H}$. Die obere Halbebene ist der Definitionsbereich von Modulformen als Funktionen.

Komplexe Funktionen

→ Hauptartikel: Komplexe Funktion

Eine mathematische Funktion stellt ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen $M$ und $N$ über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen $f\colon M\rightarrow N$ müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus $M$ genau ein Element in $N$ zugeordnet wird.

Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion $f(z)=z^{2}$.

Schaubild der reellen Vorschrift $x\mapsto x^{2}$

Reelle Funktionen induzieren „Tabellendaten“ der Form $(x,f(x))$, wobei die Eingabewerte $x$ den Definitionsbereich von $f$ durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten $x$ und $f(x)$ in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, alle Werte $0<x<1$ aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen $(x,f(x))$ zu Punkten $(x,y)$ in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.

Für komplexe Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“.

• 
  Der Farbschlüssel, gezeigt durch das Schaubild der Selbstabbildung $z\mapsto z$. In etwa stehen rötliche Farben für komplexe Zahlen, die annähernd positiv reell sind.
• 
  Schaubild der komplexen Quadratfunktion. Im Zentrum ist ihr Wert 0. Von dort aus nimmt sie links und rechts, also auf der reellen Achse, rote Werte an, denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Von der Mitte startend nach Nord oder Süd ist Türkis präsent: Die Quadrate rein imaginärer Zahlen sind negativ.
• 
  Die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion. Ihre Beträge werden mit wachsendem Realteil schnell größer, das Schaubild also heller, und für fallende Realteile kleiner, das Schaubild also dunkler. Parallel zur imaginären Achse des Eingabebereichs ist sie eine periodische Funktion.
• 
  Auch beim komplexen Sinus ist die Periodizität gut zu erkennen – dieses mal in reeller Ausrichtung, da $\sin(z+2\pi )=\sin(z)$.

Nicht alle komplexen Funktionen sind auf der gesamten komplexen Ebene definiert. In etwa sind Modulformen nur auf der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ der komplexen Zahlen erklärt. Dort nehmen sie wieder komplexe Wert an. Ist also $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$ eine Modulform, so machen die Auswertungen $f(1+i)$ und $f(-3+4i)$ Sinn, nicht aber $f(-i)$.

Gruppen

Allgemein

→ Hauptartikel: Gruppe (Mathematik)

Die Achsendrehungen eines Zauberwürfels erzeugen eine Gruppe, nämlich die Menge aller Manipulationsmöglichkeiten: „Nichts tun“ entspricht dem neutralen Element, und jede Abfolge von Drehungen kann durch (umgekehrtes) nacheinander „in die andere Richtung drehen“ rückgängig gemacht werden, was die jeweils inverse Operation gibt.

Gruppen wurden in der Mathematik eingeführt, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Bei einer Gruppe $G$ handelt es sich um eine Menge von Objekten, zum Beispiel die ganzen Zahlen

$\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$

und eine Verknüpfung auf dieser Menge, sodass gewisse Eigenschaften erfüllt sind. Mit Verknüpfung ist gemeint, dass man aus je zwei Elementen der Menge ein neues Element derselben erzeugen kann. Abstrakt handelt es sich also um eine Abbildung

$\star \;\colon \;G\times G\longrightarrow G$

die einem Paar $(g_{1},g_{2})$ bestehend aus zwei Gruppenelementen ein neues Gruppenelement $g_{1}\star g_{2}$ zuordnet. Im Falle der ganzen Zahlen ist eine solche zum Beispiel die Addition: Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wiederum eine ganze Zahl. Also hat man:

$+\;\colon \;\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\;\;(n_{1},n_{2})\mapsto n_{1}+n_{2}.$

Etwa gilt

$(2,3)\mapsto 5,\qquad (-4,3)\mapsto -1.$

Um wirklich von einer Gruppe $G$ mit Verknüpfung $\star$ zu sprechen, muss zudem gelten:

• Assoziativgesetz: Die Klammerung bei der Verknüpfung ist egal. Zum Beispiel gilt $(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$ für alle $a,b,c\in G$. Es ist also unerheblich, welche Verknüpfung in einer Kette von solchen zuerst ausgeführt wird, solange die Reihenfolge der Elemente nicht verändert wird. Dies ist offenbar bei der Addition in den ganzen Zahlen erfüllt, etwa gilt $2+(1+4)=(2+1)+4=7$.
• Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element $e\in G$, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element dieses unverändert lässt. Es gilt also $a\star e=e\star a=a$ für alle Elemente $a\in G$. In obigem Beispiel ist das neutrale Element die Null, denn es gilt $3+0=3$ und allgemein $n+0=n$ für jede (ganze) Zahl $n$.
• Existenz des Inversen: Zu jedem Element $a\in G$ gibt es ein Inverses, allgemein bezeichnet mit $a^{-1}\in G$, sodass $a\star a^{-1}=a^{-1}\star a=e$ gilt, also unter Verknüpfung das neutrale Element herauskommt. In obigem Beispiel der ganzen Zahlen ist $-n$ das Inverse zu $n$, da stets $n-n=0$ gilt.

Es gibt unter den Gruppen auch solche, die mit Zusatzeigenschaften auffallen.

• Gilt zusätzlich zu den Gruppeneigenschaften noch das Kommutativgesetz, also $a\star b=b\star a$ für alle $a,b\in G$, so spricht man auch von einer abelschen Gruppe (zu Ehren von Niels Henrik Abel). Zum Beispiel ist $\mathbb {Z}$ eine abelsche Gruppe, da die Summe zweier Zahlen nach deren Vertauschung unverändert bleibt.

Die volle Modulgruppe

→ Hauptartikel: Spezielle lineare Gruppe

Es gibt zahlreiche Beispiele für Gruppen, etwa die Menge der rationalen Zahlen ohne die Null, in Zeichen $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$, mit der Multiplikation als Verknüpfung (das neutrale Element ist dann die $1$). Für die Theorie der Modulformen wichtig ist jedoch eine ganz bestimmte Gruppe, die spezielle lineare Gruppe über den ganzen Zahlen (im Falle $n=2$) – kurz $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Genannt wird diese auch einfach volle Modulgruppe. Diese besteht aus $2\times 2$-Matrizen mit ganzen Einträgen, deren Determinante gleich 1 ist. Einfach gesprochen handelt es sich dabei um Tabellen mit vier ganzen Einträgen, also zum Beispiel

${\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}}.$

Für eine allgemeine $2\times 2$-Matrix

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

besagt die Bedingung Determinante = 1 aber noch zusätzlich

$\det(A)=ad-bc=1.$

Obere Beispielmatrix liegt daher in $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, denn alle Einträge sind ganzzahlig und es gilt

$2\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=10-9=1.$

Neben der komponentenweisen Addition für Matrizen, wie

${\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}5&0\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-3\\-2&8\end{pmatrix}}$

unter derer $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ jedoch nicht zur Gruppe wird, existiert noch die Matrizenmultiplikation, in allgemeinen Symbolen:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}},$

und wie üblich bedeutet $ab$ das gleiche wie $a\cdot b$. Unter dieser wird wegen der Rechenregel $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ und $1\cdot 1=1$ die Menge $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ zu einer (nicht-abelschen) Gruppe, da jede Matrix mit Determinante 1 auch eine Inverse (über ihrem Ring, in diesem Falle $\mathbb {Z}$) besitzt. Das neutrale Element der vollen Modulgruppe ist die Einheitsmatrix

$I_{2}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Gruppenoperationen

→ Hauptartikel: Gruppenoperation

Die Achsendrehungen operieren als Gruppe auf der Menge aller „Farbzustände“ eines Zauberwürfels.

Das Konzept der Gruppenoperation sieht vor, dass die Elemente einer Gruppe $G$ auf die Elemente einer Menge $X$ „zugreifen“, und diese „untereinander manipulieren“. Kurz gesagt wird jedes Gruppenelement $g\in G$ zu einer 1:1-Abbildung $g\colon X\to X$, und dieses Prozedere ist „verträglich“ mit der Gruppenstruktur.

Anschaulich machen lässt sich dies an einem Beispiel. Gewählt wird $X=\mathbb {R}$ (die reellen Zahlen) und $G=\mathbb {Z}$ mit der Addition. Jede ganze Zahl $n$ induziert nun eine 1:1-Abbildung $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ via

$n(x):=x+n$.

Damit wird jede ganze Zahl zu einer Funktion $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Zum Beispiel gilt

$2(x)=x+2,\qquad {\text{etwa}}\qquad 2(0,5)=2+0,5=2,5,\qquad {\text{oder}}\qquad (-4)(1,2)=-2,8.$

Jede dieser Abbildungen ist 1:1, kann $n(x)$ doch sofort mit $(-n)(x)$ wieder umgekehrt werden.

Entscheidend ist die Verträglichkeit zwischen Verkettung und Gruppenstruktur: Ist allgemein $g_{1},g_{2}\in G$ und $e$ das neutrale Element, so soll für alle Elemente in $X$ immer gelten:

$g_{1}(g_{2}(x))=(g_{1}*g_{2})(x),\qquad {\text{sowie}}\qquad e(x)=x.$

Es ist also $e(x)$ die triviale Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, und zudem egal, ob zwei Funktionen verkettet werden, oder stattdessen ihre Verknüpfung in $G$ gebildet wird, und die resultierende Funktion $g_{1}*g_{2}\colon X\to X$ auf $x$ angewendet. Im Falle des Beispiels liegen diese Bedingungen auf der Hand, für ganze Zahlen $n_{1},n_{2}$ und eine reelle Zahl $x$ gilt:

$n_{1}(n_{2}(x))=n_{1}(x+n_{2})=x+n_{1}+n_{2}=(n_{1}+n_{2})(x)\qquad {\text{und}}\qquad 0(x)=x+0=x.$

Zum Beispiel ist $2(5(x))=7(x)$.

Im Falle der Modulformen wird die Gruppenoperation der Gruppe $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ auf der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ der komplexen Zahlen benötigt. Diese ist gegeben durch sog. Möbiustransformation. Eine Matrix

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$

wird zu einer Funktion $\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ via

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z):={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Dabei handelt es sich um eine linear-gebrochene Funktion. Es kann elementar – wenn auch aufwendig – nachgerechnet werden (Bruchrechnung), dass dies eine Gruppenoperation bildet. Wichtig ist dabei auch die Wohldefiniertheit, also dass die Funktionen tatsächlich $\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ abbilden. Es gilt allerdings für Matrizen aus $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$

$\mathrm {Im} \left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)={\frac {\mathrm {Im} (z)}{|cz+d|^{2}}}>0\iff z\in \mathbb {H} .$

Orbiträume und Fundamentalbereiche der vollen Modulgruppe

Orbiträume einer Gruppenwirkung entstehen dann, wenn man Elemente, die unter der Operation auseinander hervorgehen, als gleich ansieht. Wieder kann als Beispiel $X=\mathbb {R}$ und $G=\mathbb {Z}$ dienen. In diesem Falle wären $0,5$ und $3,5$ „gleich“, da sie durch die Gruppenoperation auseinander hervorgehen:

$3(0,5)=3,5.$

Man schreibt in diesem Falle auch $[0,5]=[3,5]$, wobei die $[x]$ Äquivalenzklassen sind, sog. Bahnen. Ausgeschrieben gilt

$[0,5]=\{\ldots ,-1,5;-0,5;0,5;1,5;2,5;\ldots \}.$

Im Alltag ließe sich das Prinzip der Äquivalenzklassen damit vergleichen, dass eine Person, die nur an der Anzahl an Wohnungen in einer Stadt interessiert ist, die Bewohner derselben Wohnung als „gleich“ ansehen würde, um die „Klassen an Menschen“ = Wohnungen zu zählen (wobei hier vereinfachend angenommen wird, jeder Mensch bewohne nur genau eine Wohnung). In diesem Sinne wären $0,5$ und $1,5$ Teil derselben Klasse bzw. „Wohnung“, da sie aus einer Translation um 1 auseinander hervorgehen, also beide in $[0,5]$ liegen („in der Wohnung $[0,5]$ leben“).

Die Kollektion der Bahnen $[x]$ definiert nun den Orbitraum („Menge der Wohnungen“) der Operation von $G$ auf $X$, bezeichnet als $G\backslash X$. Zum Beispiel ist

$\mathbb {Z} \backslash \mathbb {R} \cong [0,1)$ (Schreibweise für halboffenes Intervall von 0 (abgeschlossen) bis 1 (offen); das Symbol $\cong$ bedeutet, es lassen sich beide Objekte identifizieren),

denn jede reelle Zahl $x$ besitzt genau ein eindeutig bestimmtes Element $0\leq y<1$, das durch die Gruppenoperation mit $\mathbb {Z}$ aus $x$ hervorgeht. In etwa ist $(10)(-9,8)=0,2\in [0,1)$. Geometrisch lässt sich dies dadurch deuten, dass jede reelle Zahl auf dem Zahlenstrahl durch Translation um den Wert 1 nach links oder rechts irgendwann im Intervall $[0,1)$ landet – aber dies auf eindeutige Weise.

Zu beachten ist, dass $[0,1)$ lediglich eine (nützliche) Darstellung des Orbitraums ist – und damit keineswegs eindeutig. So wäre $[1,2)$ ebenfalls eine legitime Darstellung, wenn (ebenfalls immer eindeutig existierende) Klassenvertreter im Intervall $2\leq x<3$ gewählt werden, aber zum Beispiel auch $(\pi ,\pi +1]$. In einigen Anwendungen ist es jedoch zweckmäßig, den Orbiträumen „kleine Mengen“ hinzuzufügen, um sie „mathematisch schöner“ zu machen. In etwa kann es von Vorteil sein, dass abgeschlossene Intervall $[0,1]$ als „Orbitraum“ zu betrachten, da es eine kompakte Menge in den reellen Zahlen ist. Dies ist für die Theorie der Modulformen ebenfalls wichtig: Auch hier ist es üblich, die Orbiträume geringfügig abzuändern, um sie später leichter behandeln zu können.

Im Falle der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ und der vollen Modulgruppe $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ können ebenfalls Orbiträume $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H}$ angegeben werden. Durch geringfügige Änderungen am Rand (wie oben beim Übergang von $[0,1)$ zu $[0,1]$) hat sich jedoch hier der Begriff des Fundamentalbereichs etabliert. Der sog. Standardfundametalbereich der Operation von $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ auf $\mathbb {H}$ hat die Gestalt

${\mathcal {F}}=\left\{z\in \mathbb {H} \,\,\colon \,\,\left|z\right|\geq 1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\right\}.$

Dabei bedeutet:

• $\left|z\right|\geq 1$, dass $z$ außerhalb der komplexen Einheitskreisscheibe liegt,
• $\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|\leq {\tfrac {1}{2}}$, dass $z$ im Streifen zwischen Realteil $-{\tfrac {1}{2}}$ und ${\tfrac {1}{2}}$ liegt.

Der Standardfundamentalbereich ${\mathcal {F}}$ in grau schattiert. Die obere Halbebene lässt sich durch Fundamentalbereiche der vollen Modulgruppe überdecken.

Automorphe Formen

Das Zusammenspiel aus Invarianz (hier unter der Translation $x\mapsto x+1$) und „guten“ analytischen Eigenschaften befördert in der Mathematik oft nützliche Resultate zu Tage: Obwohl „nur“ stückweise differenzierbar, lässt sich das Sägezahnsignal in allen Stetigkeitspunkten in eine Fourier-Reihe entwickeln.

Sehr kurz und einfach gesprochen motiviert sich der Begriff der automorphen Form aus zwei Ideen:

1. Man beginnt mit einer Funktion $f$ auf einem Definitionsbereich $X$, auf dem eine Gruppe $G$ operiert, mit Werten zum Beispiel in den komplexen Zahlen. Diese Funktion soll (in einem gewissen Sinne) unter der Gruppenwirkung unverändert, also invariant, sein. Dies gibt die Möglichkeit, sie zu einer Funktion auf dem Orbitraum $G\backslash X$ „einzuschränken“.
2. Es soll $f$ „gute analytische Eigenschaften“ haben, je nach Kontext etwa Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Glattheit oder sogar Holomorphie.

Dem oberen Beispiel folgend kann $X=\mathbb {R}$, $G=\mathbb {Z}$ und $f(x)=\sin(2\pi x)$ gewählt werden. Da der Sinus $2\pi$-periodisch ist, gilt

$f(x+1)=f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$,

weshalb $f$ unter der Gruppenoperation von $\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {R}$ invariant bleibt:

$\ldots =f(x-3)=f(x-2)=f(x-1)=f(x)=f(x+1)=f(x+2)=f(x+3)=\ldots .$

Also reicht es aus, die Funktion $f$ auf dem Intervall $[0,1)\cong \mathbb {Z} \backslash \mathbb {R}$ (oder auch $[0,1]$) zu betrachten; wegen der Periodizität kennt man dann automatisch ihr gesamtes Abbildungsverhalten $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Es besitzt der Sinus aber auch „gute analytische Eigenschaften“: Er ist beliebig oft differenzierbar, und kann sogar holomorph nach $\mathbb {C}$ fortgesetzt werden.

In der Mathematik zeigt sich, dass die Kombination aus einer „Form der Invarianz“ und „guten analytischen Eigenschaften“ immer wieder zu verblüffenden Ergebnissen führt. Das obere Beispiel aufgreifend gilt etwa:

Satz. Jede stetig differenzierbare, 1-periodische Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ lässt sich in eine Fourier-Reihe entwickeln,

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\sin(2\pi nx)+b_{n}\cos(2\pi nx)),$

mit eindeutig bestimmten Fourier-Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$, die überdies absolut und gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Es ist also jedes solche $f$ aus Sinus- und Kosinus-Bausteinen „auf eindeutige Weise zusammengesetzt“, mit weitreichenden Konsequenzen in Analysis, Physik und Signalverarbeitung.

Elliptische Modulformen zur vollen Modulgruppe sind automorphe Formen hinsichtlich $X=\mathbb {H}$ und $G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Als „analytische Bedingung“ wird hierbei meist Meromorphie oder Holomorphie (= ganze Modulform) verlangt, es gibt aber zahlreiche Verallgemeinerungen, die auch schwächere Bedingungen zulassen. Fordert man nun eine Invarianz im strikten Sinne, so ist eine ganze Modulform eine holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene, sodass

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ für alle ganzen Zahlen $a,b,c,d$ mit $ad-bc=1$,

oder in Termen der Gruppenoperation

$f(M(z))=f(z)$ für alle $M\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$,

wenn zusätzlich der Wert $\lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)$ existiert. Konkrete Beispiele sind etwa

$f(z+1)=f(z),\qquad f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=f(z)\qquad$ aber auch $\qquad f\left({\frac {5z-3}{-3z+2}}\right)=f(z).$

Zu beachten ist,

1. dass diese Funktionalgleichungen – und unendlich viele weitere – alle gleichzeitig erfüllt sein müsssen, was dem Abbildungsverhalten von $f$ eine „starke Symmetrie“ verleiht, und
2. mit der geforderten Holomorphie (die u. a. Glattheit, Differenzierbarkeit und Stetigkeit impliziert) eine ganz besonders starke und damit restriktive analytische Bedingung gestellt wird.

In diesem Fall spricht man auch von einer (ganzen) Modulfunktion. In etwa ist die Kombination aus absoluter invarianz, Holomorphie in jedem Punkt, sowie Beschränktheit für wachsenden Imaginärteil derart restriktiv, dass gilt:

Satz. Jede ganze Modulfunktion ist bereits konstant.

Es gibt daher keine nichttrivialen ganzen Modulfunktionen. Daher zeigt sich in der Anwendung, dass entweder die Forderung absoluter Invarianz oder globaler Holomorphie in vielen Fällen zu restriktiv ist, weshalb man diese Abschwächt und damit zum Begriff der Modulform kommt, siehe unten.

Hinführung zu zentralen Konzepten hinter der Arithmetik von Modulformen

Multiplikative Zahlenfolgen

Bereits Euklid von Alexandria wusste um die Möglichkeit, natürliche Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Erst Carl Friedrich Gauß hat die Tatsache, dass die Primfaktorzerlegung in allen Fällen auch eindeutig ist, mathematisch streng bewiesen.

Ein Grundprinzip der Zahlentheorie ist, dass die natürlichen Zahlen sich multiplikativ aus den Primzahlen zusammensetzen. Jede Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben, etwa

$12=2\cdot 2\cdot 3=2^{2}\cdot 3$ mit den Primzahlen $2$ und $3$.

Diese Zerlegung bildet das Fundament fast aller arithmetischen Überlegungen, weshalb der diesbezügliche Satz auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet wird.

In der Zahlentheorie untersucht man oft Folgen ganzer Zahlen, die zu jeder natürlichen Zahl einen Wert zuordnen. Ein erstes Beispiel ist die Folge der Quadratzahlen:

$1,\;\;4,\;\;9,\;\;16,\;\;25,\;\;36,\;\;49,\;\;64,\;\;81,\;\;100,\;\;121,\;\;\ldots$ usw.

Die Schwierigkeit solcher Untersuchungen hängt sehr stark von der Art der Zahlenfolge, aber auch der Fragestellung ab. Manchmal reicht es für Anwedungen, etwa aus der Komplexitätstheorie, bereits aus, abzuschätzen, wie schnell eine Folge anwächst (polynomiell, exponentiell,…?). In der reinen Mathematik ist man darüber hinaus auch an der „Struktur der Zahlen selbst“ interessiert, weshalb man mitunter nach stärkeren Resultaten sucht, etwa nach exakten Formeln, mit denen man jedes beliebige Folgeglied schnell berechnen kann, oder „Wahrscheinlichkeiten“, dass eine „zufällig gewählte“ Zahl eine bestimmte Eigenschaft erfüllt (in einem asymptotischen Sinne).

Zahlenfolgen werden häufig durch $a_{n}$ (bei mehreren Folgen $b_{n},c_{n}$ usw.) ausgedrückt. Im Falle der Quadratzahlen hat man dann

$a_{1}=1,\;\;a_{2}=4,\;\;a_{3}=9\;\;$ usw.

Manche dieser Folgen sind vollständig multiplikativ. Es gilt für natürliche $m,n$ also

$a_{mn}=a_{m}\,a_{n},$ und $a_{1}=1.$

Das Produkt der Werte ist also gleich dem Wert am Produkt. Etwa die Quadratzahlen erfüllen diese Eigenschaft. Sehen lässt sich dies anhand des Kommutativgesetzes:

$m^{2}\cdot n^{2}=m\cdot m\cdot n\cdot n=m\cdot n\cdot m\cdot n=(m\cdot n)^{2},$ zum Beispiel gilt $2^{2}\cdot 5^{2}=4\cdot 25=100=10^{2}=(2\cdot 5)^{2}.$

Folgerung: Es genügt, die Quadratzahlen aller Primzahlen zu kennen,

${\color {red}{4}},\;\;9,\;\;{\color {red}{25}},\;\;49,\;\;121,\;\;$ usw.

denn die restlichen Quadratzahlen setzen sich multiplikativ aus diesen zusammen. Etwa ist $100$ nicht in oberer Liste, aber es gilt ${\color {red}{4}}\cdot {\color {red}{25}}=100$. Hat man also ganz allgemein eine Primfaktorzerlegung

$n=p_{1}^{t_{1}}\,p_{2}^{t_{2}}\cdots p_{s}^{t_{s}},$

so folgt im vollständig multiplikativen Falle die Berechnungsformel

$a_{n}=a_{p_{1}}^{t_{1}}\,a_{p_{2}}^{t_{2}}\cdots a_{p_{s}}^{t_{s}}$ (oder anders ausgedrückt: $a_{n}$ ist durch die Werte $a_{p}$ bereits vollständig bestimmt).

In einigen Fällen ist dies jedoch zu restriktiv. Einige für die Zahlentheorie bedeutende Folgen sind nicht vollständig multiplikativ, erfüllen aber immer noch eine etwas schwächere Bedingung. Man nennt eine Folge $a_{n}$ multiplikativ, wenn für zwei teilerfremde Zahlen $m$ und $n$ stets

$a_{mn}=a_{m}\,a_{n}$

gilt und $a_{1}=1.$ Es gilt die Berchnungsformel

$a_{n}=a_{p_{1}^{t_{1}}}a_{p_{2}^{t_{2}}}\cdots a_{p_{s}^{t_{s}}}.$ (oder anders ausgedrückt: $a_{n}$ ist durch die Werte $a_{p^{t}}$ an Primzahlpotenzen bereits vollständig bestimmt).

Ein erstes, nichttriviales Beispiel ist die Teilersummenfunktion $\sigma _{1}(n)$, die alle positiven Teiler von $n$ addiert (aus Konventionsgründen steht das $n$ im Gegensatz zum „allgemeinen“ $a_{n}$ hier nicht im Index). Für $m=3$ ergibt sich

$\sigma _{1}(3)=1+3=4.$

Für $n=4$ hat man

$\sigma _{1}(4)=1+2+4=7.$

Multipliziert man, so erhält man

$\sigma _{1}(3)\cdot \sigma _{1}(4)=4\cdot 7=28.$

Nun betrachtet man das Produkt $mn=12$. Die positiven Teiler von $12$ sind $1,2,3,4,6,12$ und ihre Summe ist

$\sigma _{1}(12)=1+2+3+4+6+12=28.$

Also stimmt tatsächlich $\sigma _{1}(3)\,\sigma _{1}(4)=\sigma _{1}(12)$. Hier zeigt sich direkt das multiplikative Prinzip. Über elementare Zahlentheorie kann man für beliebige teilerfremde $m,n$

$\sigma _{1}(m)\,\sigma _{1}(n)=\sigma _{1}(mn)$

beweisen; es werden nicht alle Werte „durchprobiert“ (was bei unendlich vielen Zahlen unmöglich ist), sondern es wird allgemein argumentiert. Jedoch ist $\sigma _{1}$ nicht vollständig multiplikativ, wie das Gegenbeispiel

$7=\sigma _{1}(4)\not =\sigma _{1}(2)\,\sigma _{1}(2)=(1+2)\,(1+2)=9$

sofort zeigt. Beachte, dass $4$ und $2$ nicht teilerfremd sind.

Sowohl die Folge der Quadratzahlen als auch die der Teilerfunktionen $\sigma _{k}(n)$ (bedeutet: alle $k$-ten Potenzen der positiven Teiler von $n$ werden addiert) spielen in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle. Sie sind damit auf gewisse Weise „Nutznießer der modularen Symmetrie“.

Das Prinzip erzeugender Funktionen

→ Hauptartikel: Erzeugende Funktion

Bei der Untersuchung beliebiger Zahlenfolgen $a_{n}$ stößt man schnell auf ein natürliches Hindernis: Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Es ist also schlicht nicht möglich, die tieferen Eigenschaften der Folge $a_{n}$ durch bloße „Berechnung“ oder „Auflistung aller Werte“ zu erfassen, da kein Supercomputer dazu imstande wäre – nicht mal, wenn alle Materie im sichtbaren Universum in reine Energie umgewandelt würde.

Ein Hauptbestreben bei der Entwicklung der mathematischen Disziplin der Analysis war es, die Unendlichkeit „beherrschbar“ zu machen. In manchen Fällen kann $a_{n}$ schon mit elementaren Techniken, wie der vollständigen Induktion, untersucht werden (wobei die Unendlichkeit mit einem cleveren logischen Verfahren „umgangen“ wird). Bei dafür zu komplizierten Folgen kann es wiederum helfen, die zu $a_{n}$ gehörige erzeugende Funktion zu bilden. Dies ist eine „Datenreduktion“ in dem Sinne:

${\text{''Unendlich'' viele Zahlen}}\;a_{n}\;\;\longrightarrow \;\;{\text{''eine'' Funktion}}\;f(x).$

Mit anderen Worten: Es werden die unendlich vielen Werte $a_{n}$ in einer Funktion $f(x)$ „kodiert“. Im Anschluss ist die Strategie, die Funktion $f(x)$ zu analysieren, in der Hoffnung, das „Reduktionsverfahren umkehren zu können“:

${\text{Informationen über}}\;f(x)\;\;{\overset {?}{\longrightarrow }}\;\;{\text{Informationen über die}}\;a_{n}.$

Die erzeugende Funktion der Folge $a_{n}$ ist gegeben durch ihre Potenzreihe:

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots .$

Je nach Kontext beginnt $f(x)$ bereits bei $a_{0}x^{0}=a_{0}$. Damit überträgt sich das Unendlichkeitsproblem auf ein analytisches Konvergenzproblem; wachsen die $a_{n}$ jedoch nicht zu stark an, wird die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}$ für gewisse Werte $x\not =0$ konvergieren und dort eine analytische Funktion (für komplexe $x$ sogar holomorphe Funktion) darstellen. Dies ist eine starke Struktur und ist bei der Untersuchung von $f(x)$ von Nutzen. Man fragt etwa nach dem Wachstum, nach Mittelwerten oder nach Beziehungen von $f(x)$ zu anderen Funktionen. So lassen sich aus den scheinbar einfachen Definitionen tiefe Informationen über die Zahlenfolgen und letztlich über die Struktur der natürlichen Zahlen „entschlüsseln“. Beispiele für Techniken in diesem Kontext sind der Identitätssatz für Potenzreihen, Partialbruchzerlegung und Rückführung auf geometrische Reihen (wenn $f(x)$ eine rationale Funktion ist, wie etwa im Falle der Fibonacci-Folge), noch allgemeiner die Methode subtrahierter Singularitäten, die Kreismethode, aber auch Taubersätze.

Modulformen und ihre Fourier-Reihen – additive Zahlentheorie

Modulformen sind – in ihrer einfachsten Form – nichts anderes als erzeugende Funktionen zu ganz bestimmten Zahlenfolgen. Dabei wird allerdings in der Literatur nicht die Variable $x$, sondern traditionell $q$ verwendet. Hintergrund ist, dass die eigentliche Variable einer Modulform nicht $q$ ist, sondern $z$ mit

$q:=e^{2\pi iz}.$

Die erzeugende Reihe ist also eine Potenzreihe in $q$, und eine komplexe Fourier-Reihe in $z$:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{2\pi izn}.$ (Hinweis: Dieser „Variablenwechsel“ ist für jede Potenzreihe möglich, nicht nur Modulformen.)

Illustration der Eulerschen Formel. Der Zusammenhang zwischen Trigonometrie und der Exponentialfunktion hat starke Auswirkungen für die gesamte Mathematik – nicht nur die Theorie der Modulformen.

Hierbei ist $e^{x}$ die natürliche Exponentialfunktion, fortgesetzt auf die komplexen Zahlen. Es gilt mit der Eulerschen Formel mit $z=x+iy$ die Berechnungsformel

$e^{2\pi izn}=e^{2\pi i(x+iy)n}=e^{-2\pi yn}e^{2\pi ixn}=e^{-2\pi yn}(\cos(2\pi xn)+i\sin(2\pi xn)).$

Wegen dieser „Zerlegung“ in Sinus und Kosinus spricht man von Fourier-Reihe. Die Reihenterme $a_{n}e^{2\pi izn}$ sind ergo alle 1-periodisch in $x$, also sogar unverändert unter $z\mapsto z+1$, da 1 eine reelle Zahl ist, also „zu $x$ zählt“. Für Werte $y>0$ (also $z$ auf der oberen Halbebene!) sind die Werte $e^{2\pi izn}$ außerdem „zunehmend klein“, da dann $e^{-2\pi yn}$ für wachsendes $n\to \infty$ exponentiell gegen 0 strebt. Also hat die Reihe auf der oberen Halbebene gute Konvergenzbedingungen, etwa wenn die Zahlen $a_{n}$ nur polynomiell wachsen (was bei Modulformen im einfachsten Falle der Fall ist).

Potenz- bzw. Fourier-Reihen sind klassische Werkzeuge in der additiven Zahlentheorie. Hintergrund ist das Potenzgesetz

$q^{m}q^{n}=q^{n+m}$ (heißt: $m$ Faktoren mal $n$ Faktoren $q$ ergibt insgesamt $m+n$ Faktoren $q$.)

Ein klassisches Beispiel liefert die sog. Jacobische Thetafunktion (eine Modulform! - siehe unten in diesem Artikel)

$\theta (z):=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots \;=\;\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}.$

Hier tritt in der Potenzreihe zu jeder Quadratzahl $n^{2}$ ein Koeffizient auf: nämlich $1$ für $n=0$ und $2$ für jedes positive $n$, da sowohl $+n$ als auch $-n$ denselben Exponenten ergeben.

Der eigentliche Bezug zur additiven Zahlentheorie entsteht, wenn man $\theta (z)$ zum Beispiel quadriert, und beim Ausmultiplizieren der Klammern das obere Potenzgesetz ausnutzt:

$\theta (z)^{2}\;=\;\left(1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots \right)^{2}=1+4q+4q^{2}+4q^{4}+8q^{5}+4q^{8}+4q^{9}+\cdots .$

Die neu entstandenen Koeffizienten lassen sich wie folgt Interpretieren: Sie zählen bei der Potenz $q^{N}$ genau, wie viele ganzzahlige Darstellungen $N=m^{2}+n^{2}$ existieren, unter Beachtung der Reihenfolge. In etwa gilt

$3^{2}+0^{2}=(-3)^{2}+0^{2}=0^{2}+3^{2}=0^{2}+(-3)^{2}=9$

weshalb es hier 4 Möglichkeiten gibt, daher $4q^{9}$. Bezeichet werden diese auch als $r_{2}(n)$, also hat man

$\theta (z)^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }r_{2}(n)q^{n}.$

Da Produkte von Modulformen wieder Modulformen sind (siehe unten), gilt

$\theta (z)\;\;{\text{Modulform}}\;\;\implies \;\theta (z)^{2}\;\;{\text{Modulform}}.$

Somit lässt sich etwa die nichttriviale Zahlenfolge $r_{2}(n)$ mit Hilfe der Theorie der Modulformen untersuchen. Allerdings ist man wegen der Redundanzen durch Vorzeichen an der „bereinigten“ Funktion $r_{2}^{*}(n):={\tfrac {1}{4}}r_{2}(n)$ mehr interessiert, also

${\frac {1}{4}}\theta (z)^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }r_{2}^{*}(n)q^{n}={\frac {1}{4}}+q+q^{2}+q^{4}+2q^{5}+q^{8}+q^{9}+\cdots .$ (Wegen $\pm 0=0$ wird die Null nur „halb gewichtet“, es sind damit zum Beispiel $1^{2}+2^{2}$ und $2^{2}+1^{2}$ und $3^{2}+0^{2}$ die „im Wesentlichen“ eindeutigen Darstellungen von 5 bzw. 9; daher $2q^{5}$ und $q^{9}$.)

Es wird ignoriert, dass der „triviale Fall“ Null einen Bruch liefert.

Modulformen und ihre L-Reihen – multiplikative Zahlentheorie

Das, was Modulformen unter anderem so wichtig für die Zahlentheorie macht, ist, dass sie neben der additiven auch eine enge Beziehung zur multiplikativen Zahlentheorie haben. Während in der additiven Zahlentheorie „Fragen über Summen ganzer Zahlen“ nachgegangen wird, geht es bei der Multiplikativen um Produkte. Etwa sind die multiplikativen Zahlenfolgen ihr Gegenstand – ebenso wie die Primzahlen.

Als Beispiel wird wieder

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\theta (z)^{2}=&{\frac {1}{4}}+q+q^{2}+q^{4}+2q^{5}+q^{8}+q^{9}+2q^{10}+2q^{13}+q^{16}+2q^{17}+q^{18}+2q^{20}\\&+3q^{25}+2q^{26}+2q^{29}+q^{32}+2q^{34}+q^{36}+2q^{37}+2q^{40}+2q^{41}+2q^{45}+\cdots \end{aligned}}$

herangezogen. Es lässt sich zum Beispiel direkt ablesen:

$r_{2}^{*}(3)r_{2}^{*}(8)=0\cdot 1=r_{2}^{*}(24),\qquad r_{2}^{*}(2)r_{2}^{*}(5)=1\cdot 2=r_{2}^{*}(10),\qquad r_{2}^{*}(5)r_{2}^{*}(8)=2\cdot 1=r_{2}^{*}(40).$

Diese Beispiele lassen vermuten, dass $r_{2}^{*}(n)$ eine multiplikative Zahlenfolge ist. Dies ist tatsächlich der Fall; allgemein gilt für teilerfremde natürliche Zahlen $m,n$

$r_{2}^{*}(m)r_{2}^{*}(n)=r_{2}^{*}(mn).$

Dies zu sehen, ist nicht ganz einfach; dennoch kann es mit elementaren Methoden bewiesen werden. Betrachtet man aber nun

${\frac {1}{2}}\theta (z)={\frac {1}{2}}+q+q^{4}+q^{9}+q^{16}+q^{25}+q^{36}+q^{49}+q^{64}+q^{81}+\cdots$

so fällt auf, dass auch hier eine multiplikative Zahlenfolge zugrunde liegt (es wird ${\tfrac {1}{2}}$ ignoriert). Die Koeffizienten sind hier die Indikatorfunktion $I_{\square }(n)$ der Quadratzahlen, also sie „zeigt 1“, wenn eine Quadratzahl vorliegt, und ansonsten „zeigt sie 0“. Nun ist aber das Produkt zweier teilerfremder Zahlen genau dann eine Quadratzahl, wenn beide Faktoren schon eine waren (dies sieht man an der Primfaktorzerlegung; Primzahlen müssen bei Quadrate immer in gerader Häufigkeit auftreten). Zum Beispiel:

$\underbrace {I_{\square }\left(\underbrace {100} _{={\text{Quadratzahl}}}\right)} _{=1}=\underbrace {I_{\square }\left(\underbrace {4} _{={\text{Quadratzahl}}}\right)} _{=1}\underbrace {I_{\square }\left(\underbrace {25} _{={\text{Quadratzahl}}}\right)} _{=1}=1,$ und es sind $4,25$ teilerfremd.

Zusammenfassend wurde $r_{2}^{*}(n)$ also auf „additivem Wege“ über eine multiplikative Zahlenfolge gewonnen, aber das Ergebnis ist wieder multiplikativ. Dies ist aus mathematischer Sicht äußerst ungewöhnlich, und kann mit Hilfe der Theorie der Modulformen erklärt werden.

Neben den erzeugenden Funktionen in Form von Potezreihen kann man Zahlenfolgen $a_{n}$ auch andere Reihen zuordnen. Wegen des Potenzgesetzes

$m^{x}n^{x}=(mn)^{x}$ (heißt: $x$ Faktoren $m$ mal $x$ Faktoren $n$ ergeben $x$ Faktoren $mn$)

ist für die multiplikative Zahlentheorie die Zuordnung

$L(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

sinnvoll. Dieser Typ Reihe heißt Dirichlet-Reihe. Bedeutend ist in diesem Kontext das Euler-Produkt. Dirichlet-Reihen drücken die oben diskutierte Tatsache, dass multiplikative Funktionen durch ihre Werte an Primzahlpotenzen eindeutig bestimmt sind, analytisch aus. Ist also $a_{n}$ multiplikativ, gilt

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}\left(1+{\frac {a_{p}}{p^{s}}}+{\frac {a_{p^{2}}}{p^{2s}}}+{\frac {a_{p^{3}}}{p^{3s}}}+\cdots \right).$

In der Tat nutzt die rechte Seite nur noch $a_{p^{t}}$ zur Berechnung.

Bei Modulformen nennt man die Dirichlet-erzeugende Funktion schlicht L-Reihe. Also hat man eine Zuordnung

$\{{\text{Modulformen}}\}\;\;\longrightarrow \;\{{\text{L-Reihen}}\}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\;\;\,\,\longrightarrow \;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$

Bedeutsam ist diese Zuordnung aus zwei zentralen Gründen:

1. Modulformen sind „extrem symmetrisch“. Es ist zu erwarten, dass sich diese Symmetrie auf die L-Reihe „überträgt“.
2. Ist die Zahlenfolge $a_{n}$ multiplikativ, so hat die L-Reihe ein Euler-Produkt.

Hat eine Modulform also multiplikative Koeffizienten, erhält man in Kombination also eine „symmetrische Funktion“ $L(s)$, die gleichzeitig „etwas über Primzahlen aussagt“. Dies ist der Schlüssel für die moderne Zahlentheorie.

Geschichte

Die Anfänge der Theorie gehen auf Carl Friedrich Gauß zurück, der Transformationen spezieller Modulformen unter der Modulgruppe im Rahmen seiner Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels im Komplexen betrachtete (ein Fundamentalbereich zu $\Gamma (2)$ findet sich in seinen Aufzeichnungen schon 1805). Begründer der klassischen (rein analytischen) Theorie der Modulformen des 19. Jahrhunderts sind Richard Dedekind, Felix Klein, Leopold Kronecker, Karl Weierstraß, Carl Gustav Jacobi, Gotthold Eisenstein und Henri Poincaré. Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung von Modulformen in der Zahlentheorie war der Satz von Jacobi (Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch vier Quadrate). Die moderne Theorie der Modulformen entstand in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch Erich Hecke und Carl Ludwig Siegel, die Anwendungen in der Zahlentheorie verfolgten. Hier spielt die Theorie der Hecke-Operatoren, die im Raum der Modulformen wirken, und mit ihnen definierter Dirichletreihen (Hecke L-Reihe) eine besondere Rolle. Modulformen in Termen der Darstellungstheorie stammen von Robert Langlands (Langlands-Programm). p-adische Modulformen treten zuerst bei Nicholas Katz und Jean-Pierre Serre auf. Modulformen spielten auch eine zentrale Rolle im Beweis der Vermutung von Fermat (Modularitätssatz, der wiederum ein Spezialfall der 2006 bewiesenen Serre-Vermutung ist), die Modulformen mit Galoisdarstellungen der absoluten Galoisgruppe von Zahlkörpern verbindet. Sowohl beim Beweis der Lösung des Gaußschen Klassenzahlproblems durch Kurt Heegner als auch des letzten Teils der Weil-Vermutungen (Riemann-Hypothese) und damit verbunden der Ramanujan-Vermutung durch Pierre Deligne spielten Modulformen eine wichtige Rolle wie auch beim Beweis von Maryna Viazovska (2016), dass das E8-Gitter in acht Dimensionen und das Leech-Gitter in 24 Dimensionen dichteste Kugelpackungen liefern (die Thetafunktionen dieser beiden Gitter sind Modulformen, siehe unten). Modulformen kodieren häufig arithmetische Informationen der algebraischen Zahlkörper, sind aber viel einfacher rechnerisch zugänglich, teilweise schon mit Computeralgebra-Programmen, und die Anzahl linear unabhängiger Modulformen bestimmten Typs ist beschränkt.

Notation

Es werden die folgenden üblichen Notationen verwendet:

• $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ für die natürlichen Zahlen.
• $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$ für die ganzen Zahlen.
• $\mathbb {Q}$ für die rationalen Zahlen.
• $\mathbb {R}$ für die reellen Zahlen.
• $\mathbb {C}$ für die komplexen Zahlen. Es bezeichnen $\mathrm {Re} (z)$ und $\mathrm {Im} (z)$ den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl $z$.
• Es bedeutet $x\in M$, dass $x$ ein Element der Menge $M$ ist, und $x\notin M$ dass es kein Element der Menge $M$ ist. Zum Beispiel ist $-{\tfrac {1}{3}}\in \mathbb {Q}$ und $-{\tfrac {1}{3}}\notin \mathbb {Z}$.
• Es bezeichnet $e^{x}$ die natürliche Exponentialfunktion und $\log(x)$ den natürlichen Logarithmus.

Definition elliptischer Modulformen zur vollen Modulgruppe

Vorbereitung

Es sei

$\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} \colon \mathrm {Im} (z)>0\}$

die obere Halbebene, d. h. die Menge aller komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil. Es ist aus der klassischen Funktionentheorie bekannt, dass die Gruppe ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {R} )$ via Möbiustransformation auf $\mathbb {H}$ operiert. Dabei werden, wie bei einer Gruppenoperation üblich, die Elemente $M\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {R} )$ als Abbildungen $\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ aufgefasst. Man setzt:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z):={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Über Möbiustransformation kann damit eine Aktion auf dem Vektorraum der auf ganz $\mathbb {H}$ meromorphen bzw. holomorphen Funktionen ${\mathcal {M}}(\mathbb {H} )$ bzw. ${\mathcal {O}}(\mathbb {H} )$ definiert werden. Dafür wird ein $k\in \mathbb {Z}$ fixiert. Man definiert dann den Peterssonschen Strichoperator durch

$f|_{k}M(z):=(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{-k}f(M(z)),\qquad M:={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Offenbar ist dann $f|_{k}M$ wieder in ${\mathcal {M}}(\mathbb {H} )$ bzw. ${\mathcal {O}}(\mathbb {H} )$. Es gilt zudem für alle $M,N\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {R} )$ die Rechenregel

$(f|_{k}M)|_{k}N=f|_{k}(MN),$

womit der Peterssonsche Strichoperator eine Operation auf dem Raum der meromorphen bzw. holomorphen Funktionen auf der oberen Halbebene definiert.

Jede holomorphe und zugleich 1-periodische Funktion auf der oberen Halbebene besitzt eine Fourier-Entwicklung

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi izn}$

mit irgendwelchen komplexen Koeffizeinten $a_{n}$, die eindeutig bestimmt sind. In diesem Kontext ist es üblich, $q:=e^{2\pi iz}$ zu definieren, und abkürzend

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}q^{n}$

zu schreiben. Ist $f$ lediglich meromorph in $\mathbb {H}$, besitzt in $i\infty$ jedoch keine Häufung an Polstellen, ist also holomorph auf einer Halbebene $\mathbb {H} _{r_{0}}:=\{z\in \mathbb {H} \colon \mathrm {Im} (z)>r_{0}\}$ für ein $r_{0}>0$, so kann auf jener eingeschränkten Halbebene $\mathbb {H} _{r_{0}}$ wiederum eine Fourier-Reihe oberen Typs angegeben werden.

Die volle Modulgruppe

Die volle Modulgruppe oder gelegentlich einfach nur Modulgruppe ist definiert durch

${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ):=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}.$

Es handelt sich also um die Kollektion aller $2\times 2$-Matrizen mit ganzen Einträgen, deren Determinante gleich 1 ist. Jede Matrix in der vollen Modulgruppe hat also eine ebenfalls ganzzahlige Inverse mit Determinante 1. Offenbar ist sie eine echte Untergruppe von ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {R} )$. Gelegentlich wird abkürzend $\Gamma :={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ geschrieben. Sie wird durch die Matrizen

$S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

erzeugt. Diese Matrizen beschreiben geometrisch eine Spiegelung an einem Kreis (Inversion) und eine Translation.

Manche Autoren bezeichnen auch die projektive spezielle lineare Gruppe $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ als volle Modulgruppe, in der Matrizen $M$ und $-M$ identifiziert werden. Sie ist der Quotient von ${\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ nach ihrem Zentrum $\{\pm I_{2}\}$ und der Einheitsmatrix $I_{2}$.

Definition

Für eine ganze Zahl $k$ heißt eine holomorphe bzw. meromorphe Funktion $f$ auf der oberen Halbebene eine ganze (d. h. holomorphe) bzw. meromorphe elliptische Modulform vom Gewicht $k$ zur Gruppe ${\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• Sie ist invariant unter dem Peterssonschen Strichoperator bezüglich $k$, also $f|_{k}M=f$ für alle $M\in {\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$. Äquivalent gelten simultan die Funktionalgleichungen

$f\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ für alle $z\in \mathbb {H}$ und $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ mit $ad-bc=1.$

Insbesondere gilt mit der Wahl $M=T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ stets $f(z+1)=f(z)$.

• Sie ist „holomorph bzw. meromorph im Unendlichen“. Das bedeutet, dass sie für alle $z$ mit hinreichend großem Imaginärteil in eine Fourier-Reihe von der Form

$f(z)=\sum _{n=-n_{0}}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$

mit einem $n_{0}\in \mathbb {N} _{0}$ entwickelbar ist, wobei im holomorphen Fall sogar $n_{0}=0$ gewählt werden kann und die betroffene Fourier-Reihe auf der gesamten oberen Halbebene konvergiert.

Eine Modulform von Gewicht $k=0$ nennt man auch Modulfunktion. Modulfunktionen haben ein besonders einfaches Verhalten unter der Modulgruppe, da der Faktor $(cz+d)^{0}=1$ entfällt:

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z).$

Verschwindet eine ganze Modulform im Unendlichen $\mathrm {Im} (z)\to \infty$ (in der Spitze, englisch cusp, $q=0$), so nennt man sie Spitzenform. Aus der Definition folgt, dass eine Modulform für ungerades $k$ identisch verschwindet.

Die Abbildung stellt die berühmte Modulfigur dar, die zum Beispiel von M. C. Escher in mehreren Graphiken künstlerisch dargestellt wurde.

Das Verhalten der Modulform vom Gewicht $k$ unter diesen Erzeugenden ist

$f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)$

und aus letzterer Gleichung ergibt sich, dass die Modulform periodisch ist. Daher ist die Fourierentwicklung ${\tilde {f}}(q)$ für $0<|q|<1$ wohldefiniert und holomorph bzw. meromorph. Mit den Fourierkoeffizienten $a_{n}$ hat man die Fourierreihe (auch q-Entwicklung genannt)

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}(f)e^{2i\pi nz}=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$,

wobei $m$ die Ordnung des Pols von $f$ in der Spitze $q=0$ genannt wird (Imaginärteil von $z$ gegen Unendlich). Die Modulform ist bei negativen Fouriergliedern meromorph in der Spitze. Bei einer Spitzenform verschwindet $f$ bei $q=0$ ($a_{0}(f)=0$), das heißt, die nichtverschwindenden Fourierkoeffizienten beginnen bei einem positiven $n$, das dann Ordnung der Nullstelle von $f$ in der Spitze genannt wird.

In der komplexen Ebene ist eine Modulform durch ihre Werte im Fundamentalbereich $\mathbb {H} /\Gamma$ definiert, der in der nebenstehenden Abbildung grau gefärbt ist. Er ist ein Dreieck mit einer Spitze im Unendlichen. Jedes der durch Geraden oder Kreise begrenzten fundamentalen Dreiecke entsteht durch Anwendung von Operationen der Modulgruppe auf den Fundamentalbereich. Die Anwendung der Modulgruppe lässt sich beliebig fortsetzen und ergibt eine immer feinere Einteilung, die aber in der Abbildung an einem bestimmten Punkt abgebrochen wurde.

Von Gittern zu elliptischen Kurven: der analytische Ursprung von Modulformen

Ein Beispiel für das Konzept des Modulraums: Kreise in der Ebene

Jeder Kreis ist durch Angabe des Mittelpunktes $M$ und des Radius $r$ eindeutig bestimmt.

Die $(x_{1},x_{2})$-Koordinaten sind Mittelpunkte, und die $x_{3}$-Koordinate der Radius: Jeder Punkt auf oder oberhalb der gelben Ebene (es gibt keine negativen Radien) entspricht eindeutig einem Kreis in der Ebene.

Die Idee eines Modulraumes ist, Objekte aus der Geometrie („Moduln“) als „Punkte in einem Raum“ zu interpretieren, um im Anschluss diesen Raum als Ganzes zu studieren, in der Hoffnung, Informationen über die geometrischen Objekte zu erhalten. Dieses abstrakte Konzept lässt sich an einem elementaren Beispiel verdeutlichen: dem Raum aller Kreise in der Ebene. Jeder Kreis wird durch zwei Daten bestimmt: seinen Mittelpunkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ und seinen Radius $r\geq 0$, obwohl (außer im pathologischen Fall $r=0$) ein Kreis aus unendlich vielen Punkten besteht. Hintergrund ist die starke geometrische Struktur eines Kreises. Damit erhält man eine Parametrisierung

$\{{\text{Kreise in der Ebene}}\}\;\cong \;\{{\text{Punkte in der Ebene}}\}\times \{{\text{Radien}}\}\;\cong \;\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{\geq 0}.$ (Mittelpunkte werden mit Radien gepaart)

Dieser Raum $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ ist der Modulraum der Kreise: Jedes Element entspricht genau einem Kreis, und umgekehrt. Man nennt ihn einen Modulraum, weil er die Menge der Objekte (Kreise) nicht nur als lose Sammlung betrachtet, sondern sie in eine geometrische Struktur einbettet, die zusätzliche Operationen wie Abstände oder Deformationen erlaubt. Im Falle der Kreise ist der Modulraum in eine dreidimensionale Struktur eingebettet (siehe Bild).

Modulräume haben nützliche Anwendungen. Ein naheliegender nächster Schritt ist die Einführung einer Metrik auf dem Modulraum der Kreise, also einer Art „Abstandsfunktion“ zwischen zwei Kreisen. Dadurch kann man quantitativ beschreiben, „wie verschieden“ zwei Kreise sind. Ein einfaches Modell wäre, den Abstand zweier Kreise $C_{1}=(x_{1},y_{1},r_{1})$ und $C_{2}=(x_{2},y_{2},r_{2})$ in $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ durch den euklidischen Abstand dieser Parameter zu definieren:

$d(C_{1},C_{2}):={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}}.$

In diesem Sinn misst die Metrik die Unterschiede in den Mittelpunkten und im Radius. Je kleiner der Abstand, desto ähnlicher sind sich die beiden Kreise. Dies macht deutlich, dass der Modulraum nicht nur die Gesamtheit der Objekte beschreibt, sondern zugleich eine natürliche Geometrie trägt, in der man Variationen und Verformungen präzise fassen kann. Ein besonders wichtiges Prinzip – auch im Kontext von Modulformen – ist, dass die Beschreibung aller Kreise durch einen Modulraum, der in einem dreidimensionalen Gebilde $\mathbb {R} ^{3}$ liegt, ermöglicht, differenzierbare Funktionen

$f\colon \{{\text{Kreise in der Ebene}}\}\to \mathbb {C}$

zu betrachten, da auf Räumen wie $\mathbb {R} ^{3}$ (höherdimensionale) Differentialrechnung betrieben werden kann. Ein solches $f$ ist in diesem Sinne bereits eine „Modulfunktion“ (auch wenn der Begriff nicht Kreisen vorbehalten ist!), also eine Funktion, die als Eingabe Moduln entgegennimmt, aber gleichzeitig auch schöne analytische Eigenschaften hat.

Genau dieses Prinzip überträgt die Theorie der Modulräume auf wesentlich kompliziertere Objekte, etwa elliptische Kurven oder Vektorbündel: Man fasst sie alle zusammen in einen Raum, der ihre Parameter (die „Moduln“) organisiert, und stattet diesen Raum mit geometrischen, algebraischen und analytischen Strukturen aus, um die Vielfalt und Unterschiede der Objekte systematisch zu untersuchen.

Der Modulraum elliptischer Kurven

Die moderne Definition von Modulformen zur vollen Modulgruppe lässt sich elegant aus der Theorie komplexer Gitter und elliptischer Kurven herleiten. Ein (komplexes) Gitter ist eine diskrete Untergruppe der Form $L=\omega _{1}\mathbb {Z} \oplus \omega _{2}\mathbb {Z} \subset \mathbb {C}$ mit $\omega _{1}/\omega _{2}\notin \mathbb {R}$. Der Quotient $\mathbb {C} /L$ ist eine komplexe Torusfläche. Über die Weierstraß’sche $\wp$-Funktion erhält man eine Einbettung in die projektive Ebene, die zeigt, dass jeder solche Torus als glatte kubische Kurve geschrieben werden kann:

$y^{2}=4x^{3}-g_{2}(L)\,x-g_{3}(L).$

Die Koeffizienten $g_{2},g_{3}$ sind aus den Gitter-Summen der Weierstraß’schen Invarianten definiert,

$g_{2}(L)=60\!\!\sum _{\omega \in L\setminus \{0\}}\!\!\omega ^{-4},\qquad g_{3}(L)=140\!\!\sum _{\omega \in L\setminus \{0\}}\!\!\omega ^{-6},$

und hängen nur von der Homotheteklasse des Gitters ab. Das Diskriminantenkriterium $\Delta _{\text{alg}}(L)=g_{2}(L)^{3}-27g_{3}(L)^{2}\neq 0$ charakterisiert die Glattheit der Kurve.

Wählt man eine geordnete Basis $(\omega _{1},\omega _{2})$, so ist der zugehörige Modulparameter $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ wohldefiniert bis zur Wirkung der vollen Modulgruppe. Denn ein Basiswechsel

${\begin{pmatrix}\omega _{1}'\\\omega _{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\!{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ),$

transformiert den Parameter durch eine Möbius-Transformation

$\tau '={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}.$

Dadurch parametrisiert die obere Halbebene $\mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \tau >0\}$ die Homotheteklassen von Gittern (und damit komplexe elliptische Kurven), modulo der Wirkung von $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$.

Modulformen als Funktionen auf Gittern bzw. auf der Modulkurve

Aus Gitter-Sicht ist eine (holomorphe) Modulform vom Gewicht $k$ eine Funktion $F$ auf der Menge der Gitter mit den Homogenitäts- und Invarianzeigenschaften

$F(\lambda L)=\lambda ^{-k}F(L)\quad (\lambda \in \mathbb {C} ^{\times }),\qquad F(L)=F(L')\ {\text{falls}}\ L\cong L'.$

Analytisch entspricht dies einer holomorphen Funktion $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ mit Transformationsgesetz

$f\!\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}\,f(\tau )\qquad {\text{für alle }}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).$

Die Homhomogenität rührt daher, dass die kanonische holomorphe Differentialform auf $\mathbb {C} /L$ durch Skalierung $z\mapsto \lambda z$ um den Faktor $\lambda ^{-1}$ mittransformiert; eine Gewicht-$k$-Form ist invariant, wenn man gleichzeitig diese natürliche Skalierung $k$-fach berücksichtigt. Geometrisch sind Modulformen genau die globalen Schnitte von Potenzen des Hodge-Bündels auf der Modulkategorie der elliptischen Kurven; Spitzenformen sind diejenigen Schnitte, die an der Randstelle (der Spitze) verschwinden.

Beispiele

Eisensteinreihen

→ Hauptartikel: Eisensteinreihe

Gotthold Eisenstein

Erste nichttriviale Beispiele für elliptische Modulformen sind die sog. Eisensteinreihen, benannt nach Gotthold Eisenstein. Bei deren Konstruktion wird die Modularität durch eine Form der symmetrischen Addition erzwungen.

Für eine ganze, gerade Zahl $k\geq 4$ wird die (klassische) Eisensteinreihe vom Gewicht $k$ durch die absolut konvergente Reihe

$G_{k}(z)\;:=\!\!\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(mz+n)^{k}}}\qquad (z\in \mathbb {H} )$

definiert. Für ungerades $k$ ist die Reihe antisymmetrisch und liefert $G_{k}\equiv 0$, weshalb dieser Fall ausgelassen wird. Jedes $G_{k}$ definiert eine ganze Modulform des Gewichts $k$ zur vollen Modulgruppe.

Es ist oft praktisch, die normierte Eisensteinreihe

$E_{k}(z)\;:=\;{\frac {G_{k}(z)}{2\zeta (k)}}$

zu verwenden; dann hat $E_{k}$ konstanten Term 1 in der Fourier-Entwicklung (siehe unten). Hier bezeichnet $\zeta (s)$ die Riemannsche Zetafunktion.

$G_{4}$

$G_{6}$

Es gelten die Fourier-Entwicklungen

$G_{k}(z)=2\zeta (k)+{\frac {2(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\,\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)\,q^{n},$

und

$E_{k}(z)=1-{\frac {2k}{B_{k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)\,q^{n}$

wobei $B_{k}$ die $k$-te Bernoulli-Zahl bezeichnet und $\sigma _{a}(n):=\sum _{d|n}d^{a}$ die Teilerfunktion. Die beiden Formen sind äquivalent über die Relation

$\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {B_{2m}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}\qquad (m\in \mathbb {N} ).$

Entscheidendes Hilfsmittel für die Herleitung der Fourier-Reihen ist die für $k\geq 2$ gültige Lipschitz-Formel

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }(n+z)^{-k}={\frac {(-2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\sum _{r=1}^{\infty }r^{k-1}e^{2\pi irz},$

die mit Hilfe elementarer Methoden der Fourier-Analysis gezeigt werden kann.

Mit $B_{4}=-{\tfrac {1}{30}}$ und $B_{6}={\tfrac {1}{42}}$ erhält man beispielsweise

$E_{4}(z)\;=\;1+240\sum _{n\geq 1}\sigma _{3}(n)\,q^{n}\;=\;1+240\,q+2160\,q^{2}+6720\,q^{3}+17520\,q^{4}+\cdots$

und

$E_{6}(z)\;=\;1-504\sum _{n\geq 1}\sigma _{5}(n)\,q^{n}\;=\;1-504\,q-16632\,q^{2}-122976\,q^{3}-532728\,q^{4}+\cdots .$

j-Funktion und Diskriminante

→ Hauptartikel: j-Funktion und Diskriminante (Modulform)

Die beiden wichtigsten klassischen Modulformen zur vollen Modulgruppe – neben den Eisensteinreihen – sind die Diskriminante $\Delta (z)$ und die aus ihr gebildete $j$-Funktion. Die Diskriminante ist eine Spitzenform vom Gewicht 12 und wird durch die algebraische Relation

$\Delta (z):={\tfrac {1}{1728}}\,{\big (}E_{4}(z)^{3}-E_{6}(z)^{2}{\big )}$

definiert, wobei $E_{4}$ und $E_{6}$ die normierten Eisensteinreihen vom Gewicht 4 bzw. 6 sind. Alternativ lässt sich die unendliche Produktentwicklung

$\Delta (z)=q\,\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}$

zeigen. Sie besitzt die Fourier-Entwicklung mit Leitkoeffizient 1:

$\Delta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}=q-24\,q^{2}+252\,q^{3}-1472\,q^{4}+4830\,q^{5}-6048\,q^{6}+\cdots ,$

wobei $\tau (n)$ die Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet.

Die $j$-Funktion erhält man als Quotient

$j(z):={\frac {E_{4}(z)^{3}}{\Delta (z)}}.$

Dies ist eine meromorphe Funktion auf der Modulkurve $\Gamma \backslash \mathbb {H}$, invariant unter der vollen Modulgruppe und holomorph auf der oberen Halbebene. Sie ist also eine in der oberen Halbebene holomorphe Modulfunktion bis auf einen einfachen Pol in der Spitze, also ein Beispiel für eine Modulform, die nicht ganz ist.

Forschungsgeschichte und bedeutende Anwendungen

Trotz sehr zahlreicher Anwendungen stechen einige Entdeckungen und Vermutungen um den Themenkomplex der Modulformen besonders hervor.

Riemannsche Vermutung

Holomorphen Modulformen, und allgemeiner auch gewissen automorphen Formen bzw. Darstellungen, können sog. L-Funktionen zugeordnet werden. Ist die betroffene Modulform eine sog. normalisierte Hecke-Eigenform, so besitzen diese L-Funktionen ein Euler-Produkt. Gleichzeitig impliziert die modulare Symmetrie eine Spiegelung des Abbildungsverhaltens der L-Funktion an einer vertikalen Geraden, der sog. kritischen Geraden. Die Große Riemannsche Vermutung besagt, dass sämtliche nichttriviale Nullstellen dieser L-Funktionen auf dieser kritischen Geraden liegen. Prototyp ist die Riemannsche Zeta-Funktion, die zur Jacobischen Theta-Funktion, einer Modulform „halbganzen Gewichts“, korrespondiert. Eine Konsequenz dieser Aussage wäre eine Form der Pseudozufälligkeit in der Verteilung der Primzahlen. Von einem Beweis dieser Vermutung ist man, selbst im Spezialfall der klassischen Riemannschen Vermutung, noch weit entfernt.

Theorie der Partitionen

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts nutzten Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan die Modularität der Dedekindschen Eta-Funktion, um eine asymptotische Formel für die Partitionsfunktion $p(n)$ herzuleiten, nämlich

$p(n)\sim {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}},\quad n\to \infty ,\qquad$ (mit der Kreiszahl $\pi =3,141\ldots$ und der Eulerschen Zahl $e=2,718\ldots$)

Es zählt $p(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, wie oft sich die Zahl $n$ als Summe natürlicher Zahlen unter Missachtung der Reihenfolge schreiben lässt, etwa $p(4)=5$, denn $1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3=4$. Im Jahr 1937 konnte Hans Rademacher, wieder mit Hilfe der vorhandenen Modularität, sogar eine exakte Formel angeben.

Klassenkörpertheorie

Im Jahr 1952 konnte Kurt Heegner durch Anwendung vornehmlich Weberscher Modulfunktionen sämtliche imaginärquadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 1 klassifizieren, also solche, in deren Ganzheitsring eine eindeutige Primfaktorzerlegung existiert. Es gibt genau 9 solche imaginärquadratische Zahlkörper, nämlich

$\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-7}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-11}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-19}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-43}}),\mathbb {Q} ({\sqrt {-67}})$ und $\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$,

womit Heegner eine Vermutung von Carl Friedrich Gauß bestätigte. Unmittelbar mit Modulformen verknüpft sind in diesem Kontext die numerische Kuriosität

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743,99999999999925007259\ldots \qquad$

sowie der bis heute genutzte Chudnovsky-Algorithmus zur schnellen Berechnung der Kreiszahl $\pi$.

Die Weil-Vermutungen

Im Jahr 1974 bewies Pierre Deligne die Weil-Vermutungen vollständig. Diese treffen eine Aussage über die Lösungsanzahlen von Varietäten über endlichen Körpern, mit zahlreichen Anwendungen in der Mathematik. Der Beweis umfasste ebenfalls die besonders schwierige lokale Riemannsche Vermutung und gehört zu den größten mathematischen Durchbrüchen des 20. Jahrhunderts. Eine direkte Konsequenz ist die Ramanujan-Vermutung, die eine scharfe obere Grenze für die Fourier-Koeffizienten von Spitzenformen (Modulformen mit bestimmten Eigenschaften), liefert. Deligne erhielt für diese Leistungen 1978 die Fields-Medaille.

Aus Radioaufnahmen des Event Horizon Telescope berechnete Darstellung, die das supermassereiche Schwarze Loch der Galaxie M87 zeigt.

Mock-Modulformen und schwarze Löcher

Es ist durch wegweisende Arbeiten von Jacob Bekenstein und Stephen Hawking in den 1970er Jahren bekannt, dass schwarze Löcher eine thermodynamische Entropie besitzen und daher aus einer Sammlung mikroskopischer Quantenzustände bestehen sollten (siehe auch Bekenstein-Hawking-Entropie). Im Rahmen der Superstringtheorie können gewisse Anzahlen mikroskopischer Zustände in Verbindung gebracht werden, die das quantenstatistische System eines schwarzen Lochs bilden – was ihr thermodynamisches Verhalten aus einer fundamentaleren Perspektive erklärt. Der grundlegende Zusammenhang zu Modulformen ergibt sich aus der Beobachtung, dass in der einfachsten superstring-theoretischen Konstruktion die erzeugende Funktion der Anzahl der mikroskopischen Zustände eine Modulform ist. In einer Richtung fungiert die modulare Symmetrie als mächtiger Leitfaden für die Berechnung von quantengravitativen Effekten auf die Entropie des schwarzen Lochs. In der anderen Richtung hat dieser Zusammenhang zur Entdeckung überraschender Beziehungen zwischen den „Mock-Modulformen“ – erste Beispiele wurden von Srinivasa Ramanujan bereits in der 1910ern konstruiert – und einer Klasse stringtheoretischer schwarzer Löcher geführt, was eine unendliche Anzahl neuer Beispiele für Mock-Modulformen liefert.

Die Monstergruppe

Richard Borcherds zeigte 1992 mit der Hilfe sog. Vertex-Algebren im Rahmen des Monstrous moonshine (gelegentlich auch Moonshine theory, dt.: „Mondscheintheorie“), dass es einen überraschenden Zusammenhang zwischen den Fourier-Koeffizienten der j-Funktion – einer Modulfunktion – und der Monstergruppe gibt. Die Monstergruppe ist mit ca. $8\times 10^{53}$ Elementen die größte unter den 26 sporadischen Gruppen, die sich im Rahmen der Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen in keine der dort gegebenen Klassen (mit je unendlich vielen Vertretern) einordnen lassen. Die Monstergruppe kann zum Beispiel als Automorphismengruppe einer kommutativen, nicht-assoziativen Algebra auf einem 196883-dimensionalen Raum realisiert werden – und zum Beispiel ist 196884 genau der erste Fourier-Koeffizient der j-Funktion. Borcherds erhielt für diese Leistung 1998 die Fields-Medaille.

Der Modularitätssatz und der Große Fermatsche Satz

Im Jahr 1995 konnten Andrew Wiles und Richard Taylor im Rahmen des Modularitätssatzes zeigen, dass alle semi-stabilen elliptischen Kurven modular sind, also von einer Modulform „abstammen“. Dahinter verbirgt sich eine Parametrisierung elliptischer Kurven durch Modulformen, ähnlich wie zum Beispiel Sinus und Kosinus den Einheitskreis parametrisieren. Jedoch geht die Aussage des Satzes viel tiefer und impliziert eine „zahlentheoretische Beziehung“ zwischen elliptischen Kurven und Modulformen. Eine Konsequenz des Modularitätssatzes ist der Große Satz von Fermat und sein Beweis wird als einer der Höhepunkte der Mathematik des 20. Jahrhunderts gesehen. Im Umfeld der bis heute ungelösten Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, einem Millennium-Problem der Mathematik, werden zudem Zusammenhänge zwischen der Anzahl rationaler Punkte auf elliptischen Kurven und den „analytischen Eigenschaften“ ihrer Modulformen (bzw. deren L-Funktionen), vermutet.

Dichteste Kugelpackungen

Im Jahr 2016 löste Maryna Viazovska mit Hilfe der Theorie der Modulformen das Problem der dichtester Kugelpackungen in 8 Dimensionen. Dies gilt als einer der größten Durchbrüche der diskreten Mathematik der letzten Jahrzehnte. Viazovska erhielt für diese Leistung im Jahr 2022 die Fields-Medaille.

Grundlegende Eigenschaften

Grundlegende algebraische Strukturen

Die Modulformen vom Gewicht $k$ bilden einen $\mathbb {C}$-Vektorraum, ebenso die ganzen Modulformen und auch die Spitzenformen. Es sind folgende Notationen gebräuchlich:

• ${\mathcal {V}}_{k}$ ist der Vektorraum der (meromorphen) Modulformen vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe,
• ${\mathcal {M}}_{k}$ ist der Vektorraum der ganzen Modulformen vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe,
• ${\mathcal {S}}_{k}$ ist der Vektorraum der Spitzenformen vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe,
• ${\mathcal {M}}_{k}^{!}$ ist der Vektorraum der schwach holomorphen Modulformen vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe, d. h., es sind Polstellen in $z=i\infty$ zugelassen.

Offenbar gilt:

${\mathcal {S}}_{k}\subset {\mathcal {M}}_{k}\subset {\mathcal {M}}_{k}^{!}\subset {\mathcal {V}}_{k}.$

Das Produkt zweier Modulformen der Gewichte $k_{1}$ und $k_{2}$ ist eine Modulform des Gewichts $k_{1}+k_{2}$, also gilt ${\mathcal {V}}_{k_{1}}{\mathcal {V}}_{k_{2}}\subseteq {\mathcal {V}}_{k_{1}+k_{2}}$. Selbiges gilt für Spitzenformen und schwach holomorphe Modulformen. Demnach hat man

$\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {S}}_{k}\subset \bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {M}}_{k}\subset \bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {M}}_{k}^{!}\subset \bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {V}}_{k}$

als aufsteigende Kette graduierter Algebren. Dabei bezeichnet $\bigoplus$ die direkte Summe. Die Spitzenformen können ferner als ein Ideal im Ring $\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {M}}_{k}$ aufgefasst werden, denn sie bilden den Kern des Ringhomomorphismus

$\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {M}}_{k}\longrightarrow \bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {C}$

der komponentenweise $f\mapsto a_{0}(f)$ vollzieht, also jede Modulform auf ihren nullten Fourier-Koeffizieten sendet.

Die Valenzformel, Dimensionsformeln

Im Folgenden ist $k$ eine gerade, ganze Zahl. Wegen ihrer starken Transformationseigenschaften kombiniert mit der Theorie meromorpher Funktionen können restriktive Eigenschaften an die Null- und Polstellen von Modulformen $f\not =0$ gestellt werden. Unter Anwendung des Residuensatzes ergibt sich die berühmte Valenzformel, manchmal auch ${\tfrac {k}{12}}$-Formel oder Gewichtsformel genannt:

$\sum _{\tau \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H} \atop [\tau ]\not =[i],[\rho ]}\mathrm {ord} _{\tau }(f)+{\frac {1}{2}}\mathrm {ord} _{i}(f)+{\frac {1}{3}}\mathrm {ord} _{\rho }(f)+\mathrm {ord} _{i\infty }(f)={\frac {k}{12}}.$

Hierbei ist $\rho :=e^{\frac {2\pi i}{3}}$ und es steht $\mathrm {ord} _{z_{0}}(f)$ für die Ordnung der Funktion $f$ im Punkt $z=z_{0}$. Im Falle $z=i\infty$ kann man diese direkt an der Fourier-Entwicklung ablesen – der Index des ersten nicht-verschwindenden Koeffizienten definiert die Ordnung. An Nullstellen ist diese positiv (und entspricht der Vielfachheit der Nullstelle), an Polstellen ist sie entsprechend negativ.

Die Valenzformel hat weitreichende Konsequenzen – im Besonderen für die Theorie ganzer Modulformen. In diesem Spezialfall sind alle Ordnungen nicht-negativ, da nirgends Polstellen vorliegen. Eine direkte Konsequenz ist, dass es keine nichttrivialen ganzen Modulformen zum Gewicht $k=2$ und Gewichten $k<0$ zur vollen Modulgruppe geben kann, da es in etwa bei $k=2$ keine Kombination schafft, auf den Wert ${\tfrac {1}{6}}$ auf der rechten Seite zu kommen. Allgemein lassen sich mit der Valenzformel Dimensionsformeln für die ${\mathcal {M}}_{k}$ bzw. ${\mathcal {S}}_{k}$ ableiten.

Es gilt für gerade $k\geq 0$:

$\mathrm {dim} \,{\mathcal {M}}_{k}={\begin{cases}\left[{\frac {k}{12}}\right],&{\mbox{falls}}\;k\equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12)\\\left[{\frac {k}{12}}\right]+1,&{\mbox{falls}}\;k\not \equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12)\end{cases}}$

$\mathrm {dim} \,{\mathcal {S}}_{k}={\begin{cases}\left[{\frac {k}{12}}\right]-1,&{\mbox{falls}}\;k\equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12),k\geq 12\\\left[{\frac {k}{12}}\right],&{\mbox{falls}}\;k\not \equiv 2\;(\mathrm {mod} \ 12),k\geq 12\\0,&{\mbox{falls}}\;k<12.\end{cases}}$

Dabei steht $[x]$ für die größte ganze Zahl, sodass $[x]\leq x$. Die Tatsache, dass dies endlichdimensionale Vektorräume sind, ist einer der wesentlichen Gründe, weshalb die Theorie der (ganzen) Modulformen so bedeutend für die Zahlentheorie ist.

Struktursätze

Da durch die Multiplikation mit der Spitzenform $\Delta$ (Diskriminante) vom Gewicht 12 ein Isomorphismus von ${\mathcal {M}}_{k-12}$ nach ${\mathcal {S}}_{k}$ gegeben ist, gilt

$\mathrm {dim} \,{\mathcal {S}}_{k}=\mathrm {dim} \,{\mathcal {M}}_{k-12},\quad \mathrm {falls} \quad k\geq 12.$

Die Vektorräume ${\mathcal {M}}_{k}$ für $k=0,4,6,8,10,14$ sind eindimensional und werden erzeugt von den $1,E_{4},E_{6},E_{4}^{2},E_{4}\cdot E_{6},E_{4}^{2}\cdot E_{6}$ und für $k=12$ zweidimensional, erzeugt von $E_{4}^{3}$ und $E_{6}^{2})$ mit den Eisensteinreihen $E_{4},E_{6}$. Allgemein kann man zeigen, dass alle Elemente von ${\mathcal {M}}_{k}$ durch Polynome in $E_{4},E_{6}$ erzeugt werden, und dies sogar eindeutig:

${\mathcal {M}}_{k}=\bigoplus _{a,b\in \mathbb {N} _{0} \atop 4a+6b=k}\mathbb {C} E_{4}^{a}E_{6}^{b}.$

Es ist aber häufig nützlicher, Basen von Eigenformen der Hecke-Operatoren zu verwenden (Atkin-Lehner-Theorie).

Man kann mit dem Satz von Riemann-Roch Aussagen über die Dimension der Vektorräume der Spitzenformen machen.

Ein Grund für die Nützlichkeit von Modulformen in unterschiedlichsten Anwendung ist, dass sie zwar häufig unterschiedliche Beschreibungen in den verschiedensten Anwendungen haben, man aber sofort Verbindungen unter den Modulformen findet, da die Vektorräume von relativ kleiner Dimension sind.

Wachstumsverhalten zum Rand der oberen Halbebene

Ist $f\in {\mathcal {M}}_{k}$ mit $k\geq 0$, so gilt

$f(x+iy)\ll y^{-k}$

gleichmäßig in $x\in \mathbb {R}$, wenn $y\to 0^{+}$. Für Spitzenformen kann dies verbessert werden. Ist sogar $f\in {\mathcal {S}}_{k}$, so gilt

$f(x+iy)\ll y^{-{\frac {k}{2}}}$

gleichmäßig in $x\in \mathbb {R}$, wenn $y\to 0^{+}$.

Hecke-Operatoren und Hecke-Theorie

→ Hauptartikel: Hecke-Operator

Erich Hecke

Für die volle Modulgruppe $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ lassen sich auf dem Vektorraum der Modulformen vom Gewicht $k$ die sogenannten Hecke-Operatoren definieren, benannt nach Erich Hecke. Diese Operatoren liefern eine Familie von kommutierenden, bezgl. des Petersson-Skalarproduktes (siehe unten) selbstadjungierten Endomorphismen mit tiefer arithmetischer Bedeutung.

Die Hecke-Theorie liefert eine kanonische Basis von Eigenformen mit arithmetisch bedeutenden Fourier-Koeffizienten. Ihre Koeffizienten sind multiplikativ und erfüllen gewisse Rekursionen. Damit schlägt die Theorie eine Brücke zwischen Modulformen, L-Funktionen und Galois-Darstellungen. Sie bildet zudem den Ausgangspunkt für die moderne Modultheorie in der Zahlentheorie, einschließlich des Langlands-Programms und des Beweises des großen Fermatschen Satzes.

Definition der Hecke-Operatoren

Für $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ eine ganze Modulform vom Gewicht $k$ und für eine natürliche Zahl $n$ ist der Hecke-Operator $T_{n}\colon {\mathcal {M}}_{k}\to {\mathcal {M}}_{k}$ durch

$(T_{n}f)(z):={\frac {1}{n}}\sum _{ad=n \atop 0\leq b<d}a^{k}\,f\!\left({\frac {az+b}{d}}\right)$

definiert. Er schickt Spitzenformen auf Spitzenformen, kann also zu einem Endomorphismus ${\mathcal {S}}_{k}\to {\mathcal {S}}_{k}$ eingeschränkt werden. Zu beachten ist, dass $T_{n}$ auch vom Gewicht $k$ abhängt, diese Abhängigkeit aber oft nicht angezeigt wird, da sie sich meist aus dem Kontext ergibt.

In der Darstellung mittels Fourier-Reihen wirkt $T_{n}$ auf die Koeffizienten durch

$(T_{n}f)(z)=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{d\mid \mathrm {ggT} (m,n)}d^{k-1}\,a_{\tfrac {mn}{d^{2}}}(f)\right)q^{m}.$

Eigenschaften

Die Hecke-Operatoren erfüllen eine Reihe an nützlichen und wichtigen Eigenschaften:

• Die Operatoren $T_{m}$ und $T_{n}$ kommutieren für alle $m,n\in \mathbb {N}$: $T_{m}T_{n}=T_{n}T_{m}$.
• Es gilt die Multiplikativitätsrelation

$T_{m}T_{n}=\sum _{d\mid \mathrm {ggT} (m,n)}d^{\,k-1}\,T_{\tfrac {mn}{d^{2}}}.$

Insbesondere gilt $T_{mn}=T_{m}T_{n}$ für teilerfremde $m,n$.

• Für Primzahlen $p$ vereinfacht sich dies zu

$T_{p}T_{p^{r}}=T_{p^{r+1}}+p^{k-1}T_{p^{r-1}}.$

Hecke-Eigenformen

Eine Modulform $f$ heißt Hecke-Eigenform (oder kurz Eigenform), wenn sie simultan Eigenfunktion aller $T_{n}$ ist. Für eine normierte Eigenform (d. h. $a_{1}(f)=1$) gilt dann

$T_{n}f=a_{n}(f)f,$

wobei $a_{n}(f)$ die Fourier-Koeffizienten von $f$ sind (siehe oben).

Die Multiplikativitätsrelation der $T_{n}$ überträgt sich auf die Koeffizienten:

• $a_{mn}(f)=a_{m}(f)a_{n}(f)$, falls $\mathrm {ggT} (m,n)=1$.
• Für Primzahlpotenzen gilt die Rekursion

$a_{p^{r+1}}(f)=a_{p}(f)a_{p^{r}}(f)-p^{k-1}a_{p^{r-1}}(f).$

Arithmetische Bedeutung

Die Hecke-Eigenwerte $a_{p}(f)$ einer normierten Eigenform mit Primzahlen $p$ induzieren die Euler-Faktoren der zugehörigen L-Funktion:

$L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}(f)}{n^{s}}}=\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}(f)p^{-s}+p^{k-1-2s}}}.$

Es kann gezeigt werden, dass genau dann eine solche Produktentwicklung vorliegt, wenn $f$ eine normierte Hecke-Eigenform ist.

Diese Euler-Produkte verbinden Modulformen mit der Zahlentheorie (z. B. Darstellung von Primzahlen, Verteilung der $a_{p}(f)$, Verknüpfung mit Galois-Darstellungen). Delignes Beweis der Weil-Vermutungen lieferte die scharfe Schranke

$|a_{p}(f)|\leq 2p^{\frac {k-1}{2}}$

für Eigenformen und Primzahlen $p$. Die Verteilung der Werte

${\frac {a_{p}(f)}{2p^{\frac {k-1}{2}}}}$

im Intervall $[-1,1]$ ist Gegenstand der Sato-Tate-Vermutung.

Petersson-Skalarprodukt

→ Hauptartikel: Petersson-Skalarprodukt

Für Modulformen zur vollen Modulgruppe spielt das Petersson-Skalarprodukt eine zentrale Rolle. Ist $f$ eine Spitzenform vom Gewicht $k$ mit Fourier-Entwicklung

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ und ebenso $g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(g)q^{n}$,

so definiert man

$\langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H} }f(z)\,{\overline {g(z)}}\,y^{k}\,{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{y^{2}}},\qquad z=x+iy.$

Hierbei bedeutet ${\overline {w}}$ die komplexe Konjugation. Das Integral läuft über einen Fundamentalbereich der vollen Modulgruppe und konvergiert für Spitzenformen. Hans Petersson führte das Petersson-Skalarprodukt im Raum der Spitzenformen ein und machte diese damit zu einem Hilbertraum. Besonders wichtig ist, dass die Hecke-Operatoren selbstadjungiert bezüglich dieses Skalarprodukts sind, also

$\langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle .$

Daraus folgt über elementare lineare Algebra, dass es eine orthogonale Basis von Hecke-Eigenformen gibt. Eisensteinreihen sind bezüglich des Petersson-Skalarprodukts orthogonal zu den Spitzenformen.

Die Norm $||f||^{2}=\langle f,f\rangle$ einer Eigenform enthält tiefe arithmetische Informationen. Über Rankins Methode und spezielle Werte von L-Funktionen lassen sich diese Normen explizit berechnen (siehe unten). Damit verbindet das Petersson-Skalarprodukt die analytische Struktur der Modulformenräume mit den arithmetischen Eigenschaften ihrer Fourier-Koeffizienten.

Poincaré-Reihen

Henri Poincaré

Poincaré-Reihen, benannt nach Henri Poincaré, sind ein grundlegendes Werkzeug zur expliziten Konstruktion von Modulformen. Sie entstehen durch periodisches Fortsetzen einer einfach strukturierten Funktion über die volle Modulgruppe. Gleichzeitig verallgemeinern sie die Eisensteinreihen.

Definition

Für ganze Zahlen $k\geq 2$ und $m\geq 1$ definiert man die holomorphe Poincaré-Reihe

$P_{m,k}(z)\;=\;\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}(cz+d)^{-k}\,e^{2\pi im\gamma (z)},$

wobei $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und $\Gamma _{\infty }$ die Untergruppe der Translationen $\{\pm {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \}$ ist. Der Summand ist so gewählt, dass er invariantes Gewicht $k$ hat.

Für $k>2$ konvergiert die Reihe absolut und definiert eine Spitzenform vom Gewicht $k$.

Fourier-Entwicklung

Die Poincaré-Reihen besitzen eine explizite Fourier-Entwicklung der Form

$P_{m,k}(z)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,k}(n)\,q^{n}.$

Die Koeffizienten $a_{m,k}(n)$ lassen sich durch Kloosterman-Summen und Bessel-Funktionen ausdrücken:

$a_{m,k}(n)\;=\;2\pi i^{k}\sum _{c=1}^{\infty }{\frac {1}{c}}\,K(m,n;c)\,J_{k-1}\!\left({\tfrac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right),$

wobei

$K(m,n;c)=\sum _{d{\bmod {c}} \atop \mathrm {ggT} (d,c)=1}e^{2\pi i{\tfrac {md+n{\overline {d}}}{c}}}$ (mit $d{\overline {d}}\equiv 1{\bmod {c}}$)

die Kloosterman-Summe und $J_{k-1}$ die Bessel-Funktion ist.

Petersson-Orthogonalität

Ein wesentliches Strukturmerkmal ist die Orthogonalität im Petersson-Skalarprodukt. Für jede Spitzenform $\textstyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ gilt

$\langle f,P_{m,k}\rangle \;=\;C_{k}\,a_{m}(f),$

wobei $C_{k}$ eine explizite Konstante ist, die nur vom Gewicht $k$ abhängt. Damit ist die Familie der Poincaré-Reihen $\{P_{m,k}\}_{m\geq 1}$ Petersson-orthogonal und erlaubt es, die Fourier-Koeffizienten beliebiger Spitzenformen direkt über das Skalarprodukt mit $P_{m,k}$ zu rekonstruieren.

Bedeutung

Poincaré-Reihen liefern somit eine explizite Basis des Raumes der Spitzenformen. Ihre arithmetische Fourier-Entwicklung stellt den direkten Zugang zu den Koeffizienten bereit, während ihre Petersson-Orthogonalität sie zu einem universellen Werkzeug für analytische Fragen macht. Zusammen mit Eisensteinreihen spannen sie den gesamten Raum der Modulformen auf und sind ein zentrales Mittel für die Untersuchung von L-Funktionen, Abschätzungen und Struktursätzen in der Theorie der Modulformen.

Atkin–Lehner-Theorie

→ Hauptartikel: Atkin-Lehner-Theorie

Die Atkin–Lehner-Theorie untersucht zusätzliche Symmetrien und Zerlegungen von Räumen von Modulformen. Ursprünglich wurde sie für Kongruenzuntergruppen $\Gamma _{0}(N)$ entwickelt, wo es für jeden Teiler $Q\mid N$ einen sogenannten Atkin–Lehner-Involution $W_{Q}$ gibt, der auf den Raum der Spitzenformen wirkt. Diese Operatoren vertauschen mit den Hecke-Operatoren und sind Involutionen, d. h. es gilt $W_{Q}^{2}=1$. Sie erlauben eine Zerlegung der Modulformenräume in Unterräume, die nach dem Vorzeichen des Eigenwerts von $W_{Q}$ unterschieden werden.

Für die volle Modulgruppe $\Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ entspricht dies dem Spezialfall $N=1$. In diesem Fall existiert nur der triviale Atkin–Lehner-Operator $W_{1}=\mathrm {Id}$, sodass keine nichttriviale zusätzliche Zerlegung entsteht. Dennoch ist die Theorie auch hier von Bedeutung, da sie die konzeptionelle Grundlage für die Einbettung der Modulformen zur vollen Modulgruppe in das allgemeinere Bild der Modulformen zu höheren Stufen liefert.

Die zentrale Idee besteht darin, dass die Atkin–Lehner-Involutionen zusammen mit den Hecke-Operatoren eine große kommutative Familie von Operatoren erzeugen, die die Struktur der Modulformenräume vollständig kontrolliert. In den Räumen höherer Stufe lassen sich so Eigenformen eindeutig durch ihre Hecke-Eigenwerte und Atkin–Lehner-Eigenwerte charakterisieren. Für die volle Modulgruppe reduziert sich das Bild auf die Hecke-Theorie allein, doch die Atkin–Lehner-Theorie erklärt, wie diese Situation in den allgemeineren Kontext eingebettet ist.

Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten

Abschätzungen und obere Schranken

Die Fourier-Entwicklungen von Modulformen zur vollen Modulgruppe enthalten arithmetisch bedeutende Koeffizienten. Es stellt sich die grundlegende Frage, wie groß diese Koeffizienten asymptotisch werden können. Die Situation unterscheidet sich deutlich zwischen Eisensteinreihen und Spitzenformen.

Für eine Eisensteinreihe $E_{k}(z)=1-{\tfrac {2k}{B_{k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)\,q^{n}$ sind die Fourier-Koeffizienten (im Wesentlichen) durch die Teilerfunktionen $\sigma _{k-1}(n)$ gegeben. Mit elementaren Mitteln folgt sofort für $k>2$

$n^{k-1}\leq \sum _{d|n}d^{k-1}=\sigma _{k-1}(n)=n^{k-1}\sum _{d|n}{\frac {1}{d^{k-1}}}\leq n^{k-1}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{k-1}}}=\zeta (k-1)n^{k-1}\ll n^{k-1}.$

Damit erhält man eine aus mathematischer Sicht sehr präzise Kontrolle über die Größenordnung der Koeffizienten der Eisensteinreihen.

Für Spitzenformen $f(z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ ist die Lage subtiler. Bereits aus dem Verschwinden des konstanten Terms und der Orthogonalität bezüglich des Petersson-Skalarprodukts folgt eine nichttriviale obere Abschätzung der Koeffizienten. Mit Hilfe elementarer Fourieranalysis (Parseval-Formel und Abschätzungen von Fourier-Reihen) lässt sich die Schranke

$a_{n}(f)\ll n^{\frac {k}{2}}$

zeigen. Diese ergibt sich aus der Tatsache, dass $f(z)$ beschränkt bleibt, wenn $y=\mathrm {Im} (z)\to \infty$, und man die Fourier-Koeffizienten als Integrale über $f(z)e^{-2\pi inx}$ interpretieren kann.

Feinere Methoden führen weiter: Mit dem Petersson-Skalarprodukt und der Theorie der Bessel- und Kloosterman-Summen gelang es, nichttriviale Abschätzungen zu gewinnen. Etwa bewies Rankin 1939

$a_{n}(f)\ll n^{{\frac {k}{2}}-{\frac {1}{5}}}$

was zwar schwächer ist als Delignes scharfe Schranke, aber deutlich stärker als Heckes Abschätzung. Rankins Ergebnis wurde später durch Selberg (für alle $\varepsilon >0$) auf

$a_{n}(f)\ll _{\varepsilon }n^{{\frac {k}{2}}-{\frac {1}{4}}+\varepsilon }$

verbessert, wobei dieser von André Weil gegebene Abschätzungen von Kloosterman-Summen nutzte. Diese sind gegeben durch

$\left|K(m,n;c)\right|\leq \sigma _{0}(c)\left(\mathrm {ggT} (m,n,c)c\right)^{\frac {1}{2}}$

und führen im Falle $c=p$ Primzahl mit $\mathrm {ggT} (p,mn)=1$ zum berühmten Sepzialfall

$|K(m,n;p)|\leq 2p^{\frac {1}{2}}.$

Den entscheidenden Fortschritt brachte Delignes Beweis der Weil-Vermutungen, der die scharfe Schranke

$|a_{p}(f)|\leq 2\,p^{\frac {k-1}{2}}$

für die Fourier-Koeffizienten $a_{p}(f)$ von Eigenformen an Primzahlen liefert. Daraus folgt allgemein

$a_{n}(f)\ll _{\varepsilon }n^{{\frac {k-1}{2}}+\varepsilon },$

was asymptotisch sogar optimal ist.

L-Funktionen von Modulformen

Zu jeder ganzen Modulform

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$

vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe lässt sich eine L-Funktion definieren. Diese spielt eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie und bildet die Brücke zwischen der Theorie der Modulformen und der klassischen Theorie der Zetafunktionen.

Definition

Die L-Funktion von $f$ wird durch die Dirichlet-Reihe

$L(f,s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}(f)}{n^{s}}}$

definiert. Da für die Fourier-Koeffizienten ganzer Modulformen $a_{n}(f)\ll n^{k-1}$ gilt, wird diese Reihe für alle $\mathrm {Re} (s)>k$ stets absolut und lokal gleichmäßig konvergieren, und dort eine holomorphe Funktion darstellen. Für Spitzenformen dehnt sich wegen des langsameren Wachstums der Koeffizienten der absolute Konvergenzbereich nach Hecke bis zu $\mathrm {Re} (s)>{\tfrac {k}{2}}+1$, und nach Deligne sogar bis nach $\mathrm {Re} (s)>{\tfrac {k}{2}}+{\tfrac {1}{2}}$.

Ist $f$ eine normierte Hecke-Eigenform, so besitzt $L(f,s)$ zusätzlich ein Euler-Produkt:

$L(f,s)=\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}(f)p^{-s}+p^{k-1-2s}}}.$

Eine andere Darstellungsmöglichkeit ist

$L(f,s)=\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{(1-\alpha _{p}p^{-s})(1-\beta _{p}p^{-s})}},$

wobei die Werte $\alpha _{p}$ und $\beta _{p}$ die Nullstellen des quadratischen Polynoms $X^{2}-a_{p}(f)X+p^{k-1}$ sind, und

$a_{p^{n}}(f)={\frac {\beta _{p}^{n+1}-\alpha _{p}^{n+1}}{\beta _{p}-\alpha _{p}}}$

erfüllen.

Das Euler-Produkt bildet das Fundament für die zahlentheoretische Bedeutung der Hecke-Eigenformen.

Holomorphe Fortsetzung und Funktionalgleichung

Mit Hilfe der Mellin-Transformation lässt sich zeigen, dass $L(f,s)$ eine meromorphe Fortsetzung auf die gesamte komplexe Ebene besitzt, die sogar holomorph in ganz $\mathbb {C} \setminus \{k\}$ ist. In $s=k$ hingegen besitzt $L(f,s)$ höchstens einen einfachen Pol. Genau dann ist $f$ eine Spitzenform, wenn sich $L(f,s)$ sogar zu einer ganzen Funktion fortsetzt. Es gilt stets $L(f,0)=-a_{0}(f)$ und $L(f,n)=0$ für alle ganzen $n<0$.

Zudem gilt eine Funktionalgleichung. Man definiert dazu die vervollständigte L-Funktion

$\Lambda (f,s)=(2\pi )^{-s}\,\Gamma (s)\,L(f,s).$

Diese erfüllt die Funktionalgleichung

$\Lambda (f,s)=(-1)^{\frac {k}{2}}\,\Lambda (f,k-s),$

und $\Lambda (f,s)$ ist auf sämtlichen Vertikalstreifen $\sigma _{1}\leq \mathrm {Re} (s)\leq \sigma _{2}$ für $\mathrm {Im} (s)\to \infty$ beschränkt.

Dies ist die exakte Analogie zur Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion.

Der Umkehrsatz von Hecke

Der Hecke-Umkehrsatz besagt, dass jede Dirichlet-Reihe

$L(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

die sich zu einer in ganz $\mathbb {C} \setminus \{k\}$ holomorphen Funktion fortsetzt mit einem einfachen Pol in $s=k$, die entsprechende Funktionalgleichung oben erfüllt, und deren Vervollständigung $(2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(s)$ auf sämtlichen Vertikalstreifen $\sigma _{1}\leq \mathrm {Re} (s)\leq \sigma _{2}$ für $\mathrm {Im} (s)\to \infty$ beschränkt ist, tatsächlich von einer Modulform vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe stammt. Es gibt also eine ganze Modulform $f$ des Gewichts $k$, sodass $a_{n}=a_{n}(f)$ für alle $n\in \mathbb {N}$, und ferner

$a_{0}(f)={\frac {(k-1)!}{(2\pi i)^{k}}}\mathrm {res} _{s=k}L(s).$

Damit ist der Umkehrsatz von Hecke die Brücke zwischen analytischen Eigenschaften einer L-Funktion und der Existenz einer zugrunde liegenden Modulform. Dieses Prinzip ist in verallgemeinerter Form ein Grundpfeiler des Langlands-Programms.

Beispiele

• Für die Diskriminante $\Delta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}$ ergibt sich

$L(\Delta ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}}.$

• Für Eisensteinreihen lassen sich die L-Funktionen in Produkte klassischer Zetafunktionen zerlegen, zum Beispiel

$L(E_{k},s)=-{\frac {2k}{B_{k}}}\zeta (s)\,\zeta (s-k+1)=-{\frac {2k}{B_{k}}}\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-(1+p^{k-1})p^{-s}+p^{k-1-2s}}},$

wobei $B_{k}$ die $k$-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.

Manins Resultat über kritische Werte von L-Funktionen

Es bezeichnet

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$

eine normierte Hecke-Eigenform vom Gewicht $k\geq 2$ zur vollen Modulgruppe, mit Zahlkörper $\mathbb {Q} _{f}=\mathbb {Q} (a_{1}(f),a_{2}(f),\dots )$. Die ganzzahligen Stellen $1\leq m\leq k-1$ der zugehörigen L-Funktion sind die kritischen Werte, da diese nicht wegen eines Gammafaktors verschwinden müssen.

Yuri Manin zeigte, dass es zwei von $f$ abhängige, positiv reelle Perioden $\Omega _{f}^{\pm }$ gibt, so dass für alle kritischen Werte

${\frac {L(f,m)}{(2\pi )^{\,m}\,\Omega _{f}^{\varepsilon (m)}}}\;\in \;\mathbb {Q} _{f},\qquad 1\leq m\leq k-1,m\not ={\frac {k}{2}},$

und

$\Omega _{f}^{+}\Omega _{f}^{-}=\langle f,f\rangle ,$

wobei das Vorzeichen $\varepsilon (m)\in \{+,-\}$ also allein durch die Parität von $m$ bestimmt ist (die beiden Familien geradzahliger bzw. ungeradzahliger $m$ teilen sich jeweils eine gemeinsame Periode). Insbesondere sind daher alle Quotienten zweier kritischer Werte nach derselben Normalisierung algebraisch:

${\frac {L(f,m_{1})}{(2\pi i)^{m_{1}}\,\Omega _{f}^{\varepsilon }}}{\bigg /}{\frac {L(f,m_{2})}{(2\pi i)^{m_{2}}\,\Omega _{f}^{\varepsilon }}}\;\in \;\mathbb {Q} _{f}\quad {\text{für }}m_{1}\equiv m_{2}{\pmod {2}}$

sofern $L(f,m_{2})\not =0$.

Rankin–Selberg-Theorie

Atle Selberg

Die Rankin–Selberg-Theorie, benannt nach Robert Alexander Rankin und Atle Selberg, liefert eine Methode, um aus zwei Modulformen eine L-Funktion zu konstruieren und deren analytische Eigenschaften zu untersuchen. Sind

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(f)q^{n}$ und $g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(g)q^{n}$ Spitzenformen vom Gewicht $k$,

so definiert man

$L(f\otimes g,s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}(f){\overline {a_{n}(g)}}}{n^{s}}}.$

Die zentrale Beobachtung ist, dass sich dieses Dirichlet-Reihenprodukt als Mellin-Transformation eines Integrals darstellen lässt. Es gilt die Identität

$\int _{\Gamma _{\infty }\backslash \mathbb {H} }f(z)\,{\overline {g(z)}}\,y^{s+1}\,{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{y^{2}}}={\frac {\Gamma (s)}{(4\pi )^{s}}}L(f\otimes g,s),$

wobei $\Gamma (s)$ die Gammafunktion und $\Gamma _{\infty }$ die Untergruppe aller Translationen in der vollen Modulgruppe bezeichnet. Dadurch überträgt sich die analytische Fortsetzung und die Funktionalgleichung des Integrals auf $L(f\otimes g,s)$. Ferner kann auf diese Weise gezeigt werden, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}(f){\overline {a_{n}(g)}}}{n^{s}}}$

für alle Werte $\mathrm {Re} (s)>k$ absolut konvergiert, sich meromorph nach $\mathbb {C}$ fortsetzen lässt, und in $s=k$ einen Pol erster Ordnung besitzt (sofern $\langle f,g\rangle \not =0$). Besonders interessant ist dies für den Spezialfall $f=g$, der zur klassischen Rankin-Zetafunktion

$L(f\otimes f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}(f)|^{2}}{n^{s}}}$

korrespondiert. Schlüsselidentität ist

$\int _{\Gamma _{\infty }\backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}\,y^{s+1}\,{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}{y^{2}}}=\int _{0}^{\infty }y^{s-1}\left(\int _{0}^{1}|f(x+iy)|^{2}\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(f)|^{2}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}e^{-4\pi ny}\mathrm {d} y={\frac {\Gamma (s)}{(4\pi )^{s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}(f)|^{2}}{n^{s}}},$

wobei im zweiten Schritt die Parsevalsche Identität

$\int _{0}^{1}|f(x+iy)|^{2}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(f)|^{2}e^{-4\pi ny}$

genutzt wurde. Zum Vertauschen von Integral und Summe dient der Satz von Lebesgue und die von Hecke bekannte, in $x$ gleichmäßige Abschätzung $f(x+iy)\ll y^{-{\frac {k}{2}}}$. Aus der klassischen Schranke $a_{n}(f)\ll n^{\frac {k}{2}}$ von Hecke ist die Konvergenz der Reihe $L(f\otimes f,s)$ im Streifen $k+1\geq \mathrm {Re} (s)>k$ nicht zu folgern und somit hochgradig nichttrivial. Ferner ist die Rankin-Zetafunktion eng mit der Norm $\langle f,f\rangle$ im Petersson-Skalarprodukt verknüpft, nämlich über das Residuum in $s=k$:

$\langle f,f\rangle ={\frac {\pi }{3}}{\frac {(k-1)!}{(4\pi )^{k}}}\mathrm {res} _{s=k}L(f\otimes f,s).$

Daraus ergibt sich eine Interpretation der Norm von Eigenformen in Bezug auf spezielle Werte von L-Funktionen.

Eine erste bedeutende Anwendung der Theorie stammt von Rankin aus dem Jahr 1939. Mit Hilfe eines technischen Satzes von Edmund Landau zeigte er

$\sum _{1\leq n\leq x}|a_{n}(f)|^{2}={\frac {3}{\pi }}{\frac {(4\pi )^{k}}{(k-1)!}}\langle f,f\rangle x^{k}+O\left(x^{k-{\frac {2}{5}}}\right),\qquad (x\to \infty ),$

wobei eine schwächere Aussage (ohne Fehlerterm) bereits mit einem Taubersatz gewonnen werden kann. Daniel Bump merkte an, man könne dies so interpretieren, dass die scharfe Abschätzung von Deligne „im Durchschnitt“ erfüllt sei.

Eine weitere Anwendung ist die Eichler-Selberg-Spurformel. Sie liefert eine exakte Formel für die Spur der Hecke-Operatoren $T_{n}$ auf dem Raum der Spitzenformen vom Gewicht $k$ zur vollen Modulgruppe.

Verallgemeinerungen

Elliptische Modulformen zu Kongruenzuntergruppen

Statt für $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ werden Modulformen auch für bestimmte Untergruppen dieser Gruppe betrachtet, insbesondere für die sogenannten Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe ($N$ ist eine positive ganze Zahl):

$\Gamma _{0}(N)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )\right|c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}$

$\Gamma (N)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )\right|c\equiv b\equiv 0{\pmod {N}},\quad a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}$

Die Zahl $N$ heißt die Stufe der zugeordneten Modulformen. $\Gamma (N)$ heißt auch die Hauptkongruenzgruppe der Stufe $N$. Jede Untergruppe von $SL(2,\mathbb {Z} )$, die die Hauptkongruenzgruppe für eine Stufe $N$ als Untergruppe enthält, wird Kongruenzuntergruppe genannt.

Bisweilen betrachtet man auch die Kongruenzuntergruppe

$\Gamma _{1}(N)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )\right|a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}},\quad c\equiv 0{\pmod {N}}\right\},$

die eine Mittelstellung einnimmt zwischen $\Gamma _{0}$ (modulo $N$ äquivalent zu oberer Dreiecksmatrix) und $\Gamma$ (modulo $N$ äquivalent zur Einheitsmatrix). Es gilt $\Gamma (N)\subseteq \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{0}(N)\subseteq SL(2,\mathbb {Z} )$ und $\Gamma (1)=\Gamma _{1}(1)=\Gamma _{0}(1)=SL(2,\mathbb {Z} )$.

Der Index der Kongruenzuntergruppen als Untergruppen von $SL(2,\mathbb {Z} )$ ist endlich und lässt sich explizit angeben. So ist:

$\left[\,SL(2,\mathbb {Z} )\colon \Gamma _{0}(N)\,\right]=N\prod _{p\mid N}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)$

$\left[\,\Gamma _{0}(N)\colon \Gamma (N)\,\right]=N^{2}\prod _{p\mid N}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$

Die Modulformen zu den Kongruenzuntergruppen $\Gamma _{0}$ und $\Gamma _{1}$ haben Fourierentwicklungen in $q$; die von $\Gamma (N)$ für $N\geq 2$ nicht unbedingt, da die Matrix ($a=d=1,b=1,c=0$) in der Transformationsmatrix nicht dazugehört (sie haben eine Fourierentwicklung in $q^{1/N}$). Es lässt sich aber immer zu einer Modulform für $\Gamma (N)$ eine solche für $\Gamma _{1}(N^{2})$ zuordnen (die eine Fourierentwicklung in $q$ hat). Auch gibt es für Kongruenzuntergruppen kein so einfaches Kriterium für Spitzenformen (der konstante Fourierterm muss nicht unbedingt verschwinden wie bei der vollen Modulgruppe). Neben Modulformen mit Transformationsverhalten wie bei der vollen Modulgruppe diskutiert werden auch solche mit erweitertem Transformationsverhalten (Multiplikation mit einem Dirichlet-Charakter) betrachtet.

Mit diesen Kongruenzuntergruppen kann man die Quotientenräume wie $H\backslash \Gamma (N)=Y(N)$ bilden, die durch Hinzunahme endlich vieler Punkte (Cusps, Spitzen der Kongruenzuntergruppe) in der erweiterten oberen Halbebene $H^{*}$ kompaktifiziert werden, der entsprechende kompaktifizierte Quotientenraum heißt dann $X(N)$. Entsprechend spricht man bei der Kongruenzuntergruppe $\Gamma _{0}(N)$ von $Y_{0}(N)$ bzw. $X_{0}(N)$ und bei $\Gamma _{1}(N)$ von $Y_{1}(N),X_{1}(N)$. Nach Kompaktifizierung erhält man kompakte Riemannsche Flächen unterschiedlichen topologischen Geschlechts $g$. Die verschiedenen $X,Y$ heißen auch Modulkurven.

Zum Beispiel ist $X(5)$ die Riemannsphäre (Geschlecht 0) mit 12 Spitzen, die wie das Ikosaeder angeordnet sind. $X(7)$ ist die Klein-Quartik mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen. $X_{0}(N)$ ist die klassische Modulkurve und wird auch häufig einfach nur als Modulkurve bezeichnet.

Modulkurven parametrisieren Äquivalenzklassen von elliptischen Kurven abhängig von der Art der Kongruenzuntergruppe und lassen sich rein algebraisch definieren und so auch über anderen Körpern als $\mathbb {C}$ betrachten. Sie sind in der arithmetischen Geometrie von Bedeutung.

Automorphe Formen

Modulfunktionen lassen sich durch Erweiterung der Art des Transformationsverhaltens und für andere Gruppen als die Modulgruppe verallgemeinern.

Zunächst wurden oben nur Modulformen zu ganzzahligem Gewicht $k$ betrachtet, es gibt aber auch solche zu rationalen Werten, die auch eine Rolle in der Zahlentheorie spielen, so benutzte Jerrold Tunnell Modulformen zum Gewicht $k=3/2$ bei der Lösung des Problems kongruenter Zahlen.

Beispielsweise kann man Funktionen betrachten, die sich durch Multiplikation mit einem automorphen Faktor transformieren:

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z)$

mit dem automorphen Faktor $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$, wobei $|\varepsilon (a,b,c,d)|=1$. Das sind Beispiele für automorphe Funktionen. Ein Beispiel ist die Dedekindsche Etafunktion. In der algebraischen Zahlentheorie werden auch häufig Modulfunktionen zur Kongruenzuntergruppe $\Gamma _{0}(N)$ betrachtet mit einem automorphen Faktor, der mit dem Dirichlet-Charakter $\chi {\pmod {N}}$ gebildet wird (Modulformen vom Gewicht $k$, Nebentypus $\chi$ und Stufe $N$):

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)(cz+d)^{k}f(z)$

Sie sind für $z$ in der oberen Halbebene definiert und holomorph in der Spitze.

Automorphe Formen sind für topologische Gruppen $G$ (Lie-Gruppen) definiert und deren diskrete Untergruppen $\Gamma$. Das entspricht im Fall der Modulformen für die Modulgruppe $\operatorname {SL} (2,\mathbf {Z} )$ der Modulgruppe selbst als diskreter Untergruppe der Liegruppe $\operatorname {SL} (2,\mathbf {R} )$ oder den Kongruenzuntergruppen als diskreten Untergruppe der Modulgruppe. Das Transformationsgesetz wird hier allgemein mit Automorphiefaktoren definiert. Automorphe Formen sind Eigenfunktionen bestimmter Casimir-Operatoren von $G$ (das entspricht bei den Modulfunktionen der Tatsache, dass diese analytische Funktionen in zwei Dimensionen sind, die die Laplacegleichung erfüllen, was dem Casimir-Operator für $\operatorname {SL} (2,\mathbf {R} )$ entspricht) und erfüllen wie die Modulformen bestimmte Wachstumsbedingungen. Sie wurden schon im 19. Jahrhundert für Fuchssche Gruppen (diskrete Untergruppen von $\operatorname {SL} (2,\mathbf {R} )$) von Henri Poincaré betrachtet und in der Zahlentheorie Anfang des 20. Jahrhunderts von David Hilbert (Hilbertsche Modulformen für total reelle Zahlkörper $F$ zur allgemeinen linearen Gruppe $GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})$ über dem Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers, definiert als Modulform auf dem $m$-fachen Produkt der oberen Halbebene, mit $m$ als Grad von $F$ über den rationalen Zahlen).

Ein weiteres Beispiel automorpher Formen in mehreren komplexen Variablen sind Siegelsche Modulformen, die im siegelschen Halbraum definiert sind und automorphe Formen zur symplektischen Gruppe sind. Sie spielen eine ähnliche Rolle für die Parametrisierung abelscher Varietäten wie Modulformen für die Parametrisierung von elliptischen Funktionen (als jeweilige Modulräume) und wurden von Carl Ludwig Siegel ursprünglich in der Theorie quadratischer Formen betrachtet.

Auch Jacobiformen sind automorphe Funktionen in mehreren Variablen, zu ihnen gehören zum Beispiel die Weierstraßsche ℘-Funktion und die Jacobische Thetafunktion.

Automorphe Formen spielen eine wesentliche Rolle im Langlands-Programm, wo algebraische Gruppen in einem zahlentheoretischen Kontext betrachtet werden (als algebraische Gruppen über dem Adelring eines algebraischen Zahlkörpers) und deren Darstellungstheorie eine besondere Rolle spielt.

Weitere Beispiele von Erweiterungen des Konzepts von Modulformen sind die Mock-Thetafunktionen von S. Ramanujan bzw. Mock-Modulformen. Sie sind selbst keine Modulformen, lassen sich aber durch Addition einer nicht-holomorphen Komponente (Schatten der Mock-Modulform genannt) zu einer Modulform vervollständigen und fanden spektakuläre Anwendung in der Theorie der Partitionen durch Ken Ono, Jan Hendrik Bruinier und Kathrin Bringmann. Sie stehen nach Sander Zwegers in Zusammenhang mit Maaß-Formen bzw. Maaß-Wellenformen von Hans Maaß, nicht-analytischen automorphen Formen, die als Eigenfunktionen des invarianten (hyperbolischen) Laplace-Operators zum Gewicht $k$ sind. Mock-Modulformen sind der holomorphe Anteil einer schwachen Maaßform, wobei sich das schwach auf die verlangten Wachstumsbedingungen bezieht.

Siegelsche und Hilbertsche Modulformen und Modulkurven sind Beispiele für Shimura-Varietäten.

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• Elias Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis. Princeton University Press, Princeton New Jersey 2003, ISBN 978-0-691-11384-5.
• Don Zagier: Introduction to Modular Forms. In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson: From Number Theory to Physics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, Second Corrected Printing 1995, Kapitel 4, S. 238–291, ISBN 3-540-53342-7 Online, PDF.
• L. J. P. Kilford: Modular forms, a classical and computational introduction. Imperial College Press, London 2008.

Weblinks

• Gabor Wiese, verschiedene Vorlesungen zu Modulformen
• Igor Dolgachev, Lectures on Modular Forms, PDF
• The L-functions and modular forms data base