Elliptisk polarisasjon

Illustrasjon av bølge med høyredreidd, elliptisk polarisasjon der det elektriske feltet i et punkt beveger seg mot urviseren sett mot dens bevegelsesretning.

Elliptisk polarisasjon er den mest generelle polarisasjon av en elektromagnetisk bølge. Både lineær og sirkulær polarisasjon kan betraktes som spesialtilfeller av denne tilstand. Dets navn refererer til bevegelsen som bølgens elektriske feltvektor beskriver under sin utbredelse og har formen til en ellipse. Elliptisk polarisasjon kan derfor generelt karakteriseres ved to parametre som tilsvarer forholdet mellom lengdene til ellipsens to hovedakser og vinkelen en av dem danner med en ekstern retning.

Både praktisk og teoretisk kan elliptisk polarisasjon fremkomme som en superposisjon av bølger med annen polarisasjon. For eksempel kan den oppstå ved å kombinere to bølger med ulike amplituder som begge er lineært polarisert i forskjellige retninger og med en vilkårlig faseforskjell.

Historisk var det lineær polarisasjon som først ble oppdaget av Étienne-Louis Malus i 1809. Den ble videre utforsket av François Arago og Augustin Fresnel som konkluderte med at lys måtte være bølger med transverse svingninger. Elliptisk polarisasjon ble først betraktet på lik fot med upolarisert lys da den ikke hadde noen bestemt retning og derfor kanskje representerte longitudinale svingninger i bølgen. Men den korrekte forklaringen kom Fresnel frem til i 1822 basert alene på transverse bølger i en mekanisk eter. Det var nesten femti år før James Clerk Maxwell hadde etablert sin elektromagnetiske teori for lys hvor det ikke lenger var nødvendig med en eter.

Polarisasjonsellipsen

Maxwells ligninger kan kombineres til å gi bølgeligningen for elektromagnetiske felt. I vakum beveger de seg med lyshastigheten c  og opptrer på enkleste og mest fundamentale vis i form av plane bølger. Den er karakterisert ved en vinkelfrekvens ω  og en bølgevektor k som angir dens beveglsesretning og med størrelse k = ω/c. Loddrett på denne vektoren oscillerer det elektriske feltet E og det magnetiske feltet B.

Når utbredelsen skjer i retning av z-aksen i et kartesisk koordinatsystem, vil E-feltet kun ha to komponenter E_x  og E_y. Disse beveger seg uavhengig av hverandre og vil derfor generelt ha en gjensidig faseforskjell φ, De to feltkomponentene varierer derfor i tid og rom som

${\begin{aligned}E_{x}(z,t)&=a_{x}\cos(kz-\omega t)\\E_{y}(z,t)&=a_{y}\cos(kz-\omega t+\phi )\end{aligned}}$

hvor a_x  og a_y  er de tilsvarende amplitudene. Komponentene til det tilsvarende magnetfeltet kan herav finnes vedbruk av Maxwell-ligningene.

Ved å bruke den trigonometriske identiteten som gir cosinus til en sum av to vinkler, ser man at de to elektriske komponentene er forbundet ved sammenhengen

${E_{y} \over a_{y}}={E_{x} \over a_{x}}\cos \phi -\sin \tau \sin \phi$

hvor τ = kz - ωt. Den gir nå ved kvadrering at

${\begin{aligned}&{\Big (}{E_{y} \over a_{y}}-{E_{x} \over a_{x}}\cos \phi {\Big )}^{2}=\sin ^{2}\tau \sin ^{2}\phi \\&={\Big [}1-{\Big (}{E_{x} \over a_{x}}{\Big )}^{2}{\Big ]}\sin ^{2}\phi \end{aligned}}$

som kan forenkles til

${\Big (}{E_{x} \over a_{x}}{\Big )}^{2}+{\Big (}{E_{y} \over a_{y}}{\Big )}^{2}-2{\Big (}{E_{x} \over a_{x}}{\Big )}{\Big (}{E_{y} \over a_{y}}{\Big )}\cos \phi =\sin ^{2}\phi$

Dette resultatet viser at de to komponentene hele tiden og på hvert sted beveger seg slik at de beskriver et kjeglesnitt. Da det har en diskriminant som er negativ, beskriver det en ellipse. Dens geometriske form og orientering karaktereriser bølgens polarisasjon.

Diagonalisering

Formen og orienteringen til polarisasjons-ellipsen er gitt ved to vinkler.

Ved å rotere koordinatsystemet kan man få ligningen til polarisasjonsellipsen på vanlig form hvor dens hovedakser faller sammen med koordinataksene. Kalles rotasjonsvinkelen for ψ, vil de elektriske feltkomponentene transformeres til

$E_{x}=E_{1}\cos \psi -E_{2}\sin \psi$

$E_{y}=E_{1}\sin \psi +E_{2}\cos \psi$

Når disse innsettes i ligningen, er vinkelen ψ  bestemnt ved at koeffisienten til leddet E₁ E₂  må være null. Det gir

$\tan 2\psi ={2a_{x}a_{y} \over a_{x}^{2}-a_{y}^{2}}\cos \phi =\tan 2\alpha \cos \phi$

der den nye vinkelen er definert ved at tan α = a_y/a_x . Den er et uttrykk for hvor bred ellipsen er.

I dette roterte koordinatsystemet må ligningen til ellipsen kunne skrives på den parametriske formen

$E_{1}(z,t)=a_{1}\cos(\tau +\theta )$

$E_{2}(z,t)=a_{2}\sin(\tau +\theta )$

med nye amplituder a₁ og a₂ for de to komponentene der θ  er en felles, konstant faseforskyvning. Den opprinnelige ellipseligningen vil da gå over til

${E_{1}^{2} \over a_{1}^{2}}+{E_{2}^{2} \over a_{2}^{2}}=1$

Det gir nå sammenhengen

${1 \over a_{x}^{2}}+{1 \over a_{y}^{2}}={\Big (}{1 \over a_{1}^{2}}+{1 \over a_{2}^{2}}{\Big )}\sin ^{2}\phi$

mellom de gamle og de nye amplitudene. Den kan forenkles da energien i bølgen før og etter transformasjonen må være den samme, det vil si $a_{x}^{2}+a_{y}^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}.$ Derfor må amplitudene tilfredsstille betingelsen

$a_{1}a_{2}=a_{x}a_{y}\sin \phi$

Bredden til denne ellipsen kan nå karakteriseres ved vinkelen χ  definert som tan χ = a₂/a₁. Den kan relateres til den tilsvarende vinkelen α før transformasjonen ved å benytte den trigonometriske identiteten

${\begin{aligned}\sin 2\chi &={2\tan \chi \over 1+\tan ^{2}\chi }={2a_{1}a_{2} \over a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\\&={2a_{x}a_{y} \over a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\sin \phi =\sin 2\alpha \sin \phi \end{aligned}}$

Ellipsens form og orientering er dermed gitt ved de to vinklene χ  og ψ . De kan igjen beregnes fra forholdet mellom to amplitudene til dens to komponenter og deres relative faseforskyvning.

Stokes-parametre

Elektromagnetisk stråling med vilkårlig polarisasjon kan karakteriseres ved fire Stokes-parametere. Av disse angir S₀ intensiteten, mens de tre andre S₁, S₂ og S₃ beskriver dens polarisasjon. Når strålingen er en monokromatisk, plan bølge, har den generelt en elliptisk polarisasjon hvor disse parametrene blir

$S_{0}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}$

$S_{1}=a_{x}^{2}-a_{y}^{2}$

$S_{2}=2a_{x}a_{y}\cos \phi$

$S_{3}=2a_{x}a_{y}\sin \phi$

Herav følger at

$S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}$

som bare gjelder i dette tilfelle med 100% polarisert stråling. Når det ikke er tilfelle, blir venstresiden mindre en summen av de kvadrerte parametrene på høyre side. Uansett graden av polarisasjon, representerer S₀ intensiteten til bølgen.

Konsistens

Definisjonen av Stokes-parametrene er i overensstemmelse med ligningen for polarisasjonsellipsen. Den kan skrives som

$a_{y}^{2}E_{x}^{2}(t)+a_{x}^{2}E_{y}^{2}(t)-2a_{x}a_{y}\cos \phi E_{x}(t)E_{y}(t)=a_{x}^{2}a_{y}^{2}\sin ^{2}\phi$

Siden begge feltkomponentene varierer med tiden som harmoniske bølger, kan man beregne de midlere verdiene over et endelig tidsrom av deres kvadrat ved å bruke at $2\langle \cos \tau \cos(\tau +\phi )\rangle =\cos \phi$ hvor τ = kz - ωt. Ellipseligningen forenkles da til

$a_{x}^{2}a_{y}^{2}-a_{x}^{2}a_{y}^{2}\cos ^{2}\phi =a_{x}^{2}a_{y}^{2}\sin ^{2}\phi$

som ikke er noe annet enn en komplisert omskrivning av Pythagoras' setning. Den tydeliggjør den benyttete definisjonen og gir samtidig sammenhengen $S_{0}^{2}-S_{1}^{2}-S_{2}^{2}=S_{3}^{2}$ mellom parametrene i dette tilfellet.

Poincaré-sfæren

Når strålingen er 100% polarisert, er denne tilstand beskrevet ved to vinkler som angir et punkt på Poincaré-sfæren.

Kombinasjonen av amplitudene som inngår i disse Stokes-parametrene, er de samme som definerer polarisasjonsvinklene ψ  og χ. Derfor er tan 2ψ = S₂/S₁ og sin 2χ = S₃/S₀. Det betyr at

$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}=S_{0}^{2}-S_{3}^{2}=S_{0}^{2}\cos ^{2}2\chi$

som dermed gir alle tre parametrene

$S_{1}=S_{0}\cos 2\chi \cos 2\psi$

$S_{2}=S_{0}\cos 2\chi \sin 2\psi$

$S_{3}=S_{0}\sin 2\chi$

uttrykt ved de to polarisasjonsvinklene. De definerer derfor en kuleflate i sfæriske koordinater hvor S₀ utgjør radius, 2χ  er den polare og 2ψ den asimutale vinkel. Den omtales vanligvis som «Poincaré-sfæren» etter den franske matematiker Henri Poincaré.

Hvert punkt på denne sfæren angir en tilstand av 100% elliptisk polarisasjon. Ekvator χ  = 0 representerer lineær polarisasjon som har en retning med x-aksen som er gitt ved vinkelen ψ, På tilsvarende vis representerer nord- og sydpolen de to spesialtilfellene hvor polarisajonsellipsen er en sirkel og man har en høyredreidd eller venstredreidd, sirkulær polarisasjon.

Se også

• Purdue University, Polarization of Light, god oversikt