Limite continue
Ne doit pas être confondu avec Limite thermodynamique.
Cet article est une ébauche concernant la physique des matériaux.
En physique, la limite continue, ou limite du continuum, est l'état limite d'un système quand le nombre de ses particules tend vers l'infini tandis que son volume reste constant.
Dans un modèle en réseau (en), la limite continue est l'état limite du modèle quand la taille de la maille du réseau tend vers zéro.
Histoire
[modifier | modifier le code]La relation conceptuelle entre les représentations discrète (atomistique, en physique) et continue a été étudiée d'un point de vue théorique en mécanique et en thermodynamique dès la fin du XIXe siècle, notamment par Boltzmann[1]. Le passage de l'une à l'autre est aussi une question étudiée en mathématiques à la même époque, elle est notamment au cœur du sixième problème de Hilbert[2]. Le problème reste d'actualité[3].
La question d'une analyse correcte de la limite du continuum a été abordée dans différents domaines scientifiques. D'un point de vue physique, elle est importante pour une déduction correcte des lois thermodynamiques macroscopiques, à partir du cadre mécanique statistique ou de la théorie statistique des champs, et pour l'approche multi-échelles en mécanique des matériaux. Des concepts mathématiques cruciaux sont liés à ce problème, les théories de l'homogénéisation et des Γ-convergences constituant des cadres théoriques de limites continues homogénéisées, à partir de microstructures discrètes. En particulier, le concept de Γ-limite, introduit par le mathématicien italien Ennio De Giorgi, aide à résoudre l'important problème physique de la détermination des fonctionnelles d'énergie limite ayant comme minima globaux la limite des minima globaux d'énergie des problèmes discrets[4].
Limite continue vs limite thermodynamique
[modifier | modifier le code]Le passage à la limite continue ou à la limite thermodynamique sont deux façons différentes d'envisager le passage d'un « petit » à un « grand » système[4] :
- le passage à la limite continue consiste à considérer un nombre croissant de particules dans un volume constant. Avec un rééchelonnement correct des paramètres du système, l'énergie totale reste finie tandis qu'est perdue la structure discrète du système. La description correcte de l'énergie cinétique et de l'entropie conduit à un comportement divergent dû au théorème d'équipartition ; cette limitation est résolue en redimensionnant les constantes de Planck et de Boltzmann[5]. La limite continue, obtenue à partir de la théorie moléculaire de l'élasticité de Navier et Cauchy, est discutée en détail dès 1892 dans le traité de Love sur la théorie mathématique de l'élasticité[6] ;
- le passage à la limite thermodynamique consiste aussi à considérer un nombre croissant de particules, mais à densité numérique constante (nombre par unité de volume). On détermine alors l'équation d'état et les lois de comportement à partir de l'évaluation de la valeur limite de l'énergie libre par unité de volume. Cette approche est celle de la théorie cinétique des gaz dès 1867 et le cadre théorique des transitions de phase à l'équilibre[7]. Cette approche a l'avantage de conserver l'architecture atomistique réelle du système, en revanche on perd les effets des conditions aux limites et il est difficile de comparer l'énergie totale (croissante vers l'infini) à l'énergie des phénomènes locaux (interfaces, défauts, etc.).
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ (en) L. Boltzmann (trad. de l'allemand par P. Foulkes (1974)), Theoretical Physics and Philosophical Problems, Dordrecht/Boston, D. Reidel, , p. 169.
- ↑ (en) David Hilbert, « Mathematical Problems, Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900 », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, , p. 437-479 (lire en ligne
, consulté le ).
- ↑ Cédric Villani, « Limites hydrodynamiques de l’équation de Boltzmann », dans Séminaire Bourbaki, t. 282, Astérisque, (lire en ligne)
- Florio et al. (2025).
- ↑ (en) A. Compagner, « Thermodynamics as the continuum limit of statistical mechanics », American Journal of Physics, vol. 57, no 2, , p. 106-117 (DOI 10.1119/1.16103).
- ↑ (en) A. E. H. Love, A treatise on the mathematical theory of elasticity, vol. 1, Cambridge University Press, , i-xvi et 1-364 (lire en ligne [PDF]).
- ↑ (en) Josiah Willard Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics (en), Charles Scribner's Sons, , i-xviii et 1-206 (lire en ligne ).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- R. Lafrance, « Limite continue d'une formulation sur réseau impulsion », sur Thèse, (consulté le )
- Alejandro Corichi, Tatjana Vukašinac et José A. Zapata, « Polymer quantum mechanics and its continuum limit », Physical Review D, vol. 76, no 4, , p. 044016 (DOI 10.1103/PhysRevD.76.044016, lire en ligne, consulté le )
- (en) Giuseppe Florio, Giordano Stefano et Giuseppe Puglisi, « Continuum vs thermodynamical limit in Statistical Mechanics », Continuum Mechanics and Thermodynamics, vol. 37, , article no 75 (DOI 10.1007/s00161-025-01406-8 )
