Operator Almost Mathieu

Operator Almost Mathieu merupakan operator dalam fisika matematika yang berkaitan dengan studi efek Hall kuantum. Operator ini dinamai berdasarkan kemiripannya dengan Operator Mathieu^[1] yang diperkenalkan oleh Émile Léonard Mathieu.^[2] Operator tersebut didefinisikan oleh persamaan

[H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega +n\alpha ))u(n),\,

bertindak sebagai operator swa-adjung (self-adjoint operator) pada ruang Hilbert ℓ2(Z). Parameter yang digunakan terdiri atas α,ω∈T serta λ>0. Dalam matematika murni, operator ini menjadi salah satu contoh operator Schrödinger ergodik yang telah dianalisis secara luas. Tiga masalah dalam daftar lima belas masalah Schrödinger menurut Barry Simon berkaitan langsung dengan operator ini. Dalam fisika, operator Almost Mathieu digunakan dalam pemodelan transisi logam–isolator, termasuk dalam Model Aubry-André. Untuk kasus λ=1, operator ini sering disebut sebagai persamaan Harper.^[3]

Masalah sepuluh martini

Struktur spektrum operator Almost Mathieu menjadi dasar Ten Martini Problem. Dugaan awalnya diajukan oleh Mark Kac yang menawarkan hadiah berupa sepuluh martini untuk pembuktian dugaan berikut:

Untuk setiap $\lambda \neq 0$ , setiap bilangan irasional $a$ , dan bilangan bulat $n_{1},n_{2}$ , dengan $0<n_{1}+n_{2}a<1$ , there is a gap terdapat suatu celah dalam spektrum operator Almost Mathieu, dengan $k(E)=n_{1}+n_{2}a$ , where $k(E)$ adalah nilai integrated density of states.

Dugaan ini kemudian dikenal sebagai Dry Ten Martini Problem oleh Barry Simon karena sifatnya lebih kuat daripada versi lemahnya.^[1] Versi lemah dugaan tersebut, yaitu Ten Martini Problem, menyatakan bahwa

Untuk setiap $\lambda \neq 0$ , setiap bilangan irasional $a$ , dan setiap $\omega$ , spektrum operator Almost Mathieu berbentuk himpunan Cantor.

Tipe Spektral

Jika $\alpha$ merupakan bilangan rasional, operator $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ bersifat periodik. Berdasarkan teori Floquet, spektrumnya dalam kasus ini sepenuhnya absolut kontinu.

Jika $\alpha$ merupakan bilangan irasional, transformasi $\omega \mapsto \omega +\alpha$ bersifat minimal sehingga spektrum operator tidak bergantung pada $\omega$ . Berdasarkan sifat ergodik, dukungan bagi bagian spektrum absolut kontinu, kontinyu singular, dan titik murni hampir pasti tidak bergantung pada $\omega$ . Hasil-hasil yang telah diperoleh meliputi :

Untuk $0<\lambda <1$ , $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ spektrum hampir pasti absolut kontinu.^[4] (merupakan salah satu masalah Simon)
Untuk $\lambda =1$ , $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ spektrum hampir pasti kontinyu singular bagi setiap α irasional.^[5]
Untuk $\lambda >1$ , $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ spektrum hampir pasti titik murni dan menampilkan lokalisasi Anderson. Lokalisasi Anderson.^[6] (Di ketahui bahwa hampir pasti tidak dapat digantikan dengan pasti.) ^[7]^[8]

Keadaan spektrum yang bersifat singular untuk $\lambda \geq 1$ berikut (melalui karya Yoram Last dan Simon)^[9] mengikuti batas bawah eksponen Lyapunov $\gamma (E)$ :

\gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,

Untuk nilai E dalam spektrum, batas bawah ini menjadi persamaan yang dikenal sebagai rumus Aubry–André, dibuktikan oleh Jean Bourgain dan Svetlana Jitomirskaya.^[10]

Struktur spektrum

Operator Almost Mathieu memiliki spektrum berbentuk himpunan Cantor untuk setiap α irasional dan λ>0. Pernyataan ini dibuktikan oleh Avila dan Jitomirskaya sebagai penyelesaian Ten Martini Problem.^[11] Sebelum pembuktian tersebut, sejumlah hasil parsial telah diperoleh secara generik^[12] maupun hampir pasti terhadap parameter.^[13]

Ukuran Lebesgue dari spektrum operator almost Mathieu diketahui memenuhi:

\operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,

untuk setiap $\lambda >0$ . Untuk $\lambda =1$ hasil ini menyatakan bahwa spektrum memiliki ukuran nol, suatu usulan yang pertama kali diajukan oleh Douglas Hofstadter.^[14] Untuk $\lambda \neq 1$ , rumus tersebut ditemukan secara numerik oleh Aubry dan André dan dibuktikan secara formal oleh Jitomirskaya dan Krasovsky serta sebagian oleh Last untuk sebagian besar parameter.^[15]^[16] Kajian spektrum untuk $\lambda =1$ menghasilkan visualisasi yang dikenal sebagai kupu-kupu Hofstadter atau Hofstadter’s butterfly, yang merepresentasikan struktur spektrum sebagai suatu himpunan fraktal.

Referensi

1 2 Simon, Barry (1982). "Almost periodic Schrodinger operators: a review". Advances in Applied Mathematics. 3 (4): 463–490. doi:10.1016/S0196-8858(82)80018-3.
↑ "Mathieu equation". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diakses tanggal February 9, 2024.
↑ Simon, Barry (2000). "Schrödinger operators in the twenty-first century". Mathematical Physics 2000. London: Imp. Coll. Press. hlm. 283–288. ISBN 978-1860942303.
↑ Avila, A. (2008). "The absolutely continuous spectrum of the almost Mathieu operator". arΧiv:0810.2965 [math.DS].
↑ Jitomirskaya, S. (2021). "On point spectrum of critical almost Mathieu operators" (PDF). Advances in Mathematics. 392: 6. doi:10.1016/j.aim.2021.107997.
↑ Jitomirskaya, Svetlana Ya. (1999). "Metal-insulator transition for the almost Mathieu operator". Ann. of Math. 150 (3): 1159–1175. arXiv:math/9911265. Bibcode:1999math.....11265J. doi:10.2307/121066. JSTOR 121066.
↑ Avron, J.; Simon, B. (1982). "Singular continuous spectrum for a class of almost periodic Jacobi matrices". Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1): 81–85. doi:10.1090/s0273-0979-1982-14971-0. Zbl 0491.47014.
↑ Jitomirskaya, S.; Simon, B. (1994). "Operators with singular continuous spectrum, III. Almost periodic Schrödinger operators" (PDF). Comm. Math. Phys. 165 (1): 201–205. Bibcode:1994CMaPh.165..201J. doi:10.1007/bf02099743. Zbl 0830.34074.
↑ Last, Y.; Simon, B. (1999). "Eigenfunctions, transfer matrices, and absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schrödinger operators". Invent. Math. 135 (2): 329–367. arXiv:math-ph/9907023. Bibcode:1999InMat.135..329L. doi:10.1007/s002220050288.
↑ Bourgain, J.; Jitomirskaya, S. (2002). "Continuity of the Lyapunov exponent for quasiperiodic operators with analytic potential". Journal of Statistical Physics. 108 (5–6): 1203–1218. arXiv:math-ph/0110040. Bibcode:2002JSP...108.1203B. doi:10.1023/A:1019751801035.
↑ Avila, A.; Jitomirskaya, S. (2005). "Solving the Ten Martini Problem". The Ten Martini problem. Lecture Notes in Physics. Vol. 690. hlm. 5–16. arXiv:math/0503363. Bibcode:2006LNP...690....5A. doi:10.1007/3-540-34273-7_2. ISBN 978-3-540-31026-6.
↑ Bellissard, J.; Simon, B. (1982). "Cantor spectrum for the almost Mathieu equation". J. Funct. Anal. 48 (3): 408–419. doi:10.1016/0022-1236(82)90094-5.
↑ Puig, Joaquim (2004). "Cantor spectrum for the almost Mathieu operator". Comm. Math. Phys. 244 (2): 297–309. arXiv:math-ph/0309004. Bibcode:2004CMaPh.244..297P. doi:10.1007/s00220-003-0977-3.
↑ Avila, A.; Krikorian, R. (2006). "Reducibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrödinger cocycles". Annals of Mathematics. 164 (3): 911–940. arXiv:math/0306382. doi:10.4007/annals.2006.164.911.
↑ Last, Y. (1993). "A relation between a.c. spectrum of ergodic Jacobi matrices and the spectra of periodic approximants". Comm. Math. Phys. 151 (1): 183–192. Bibcode:1993CMaPh.151..183L. doi:10.1007/BF02096752.
↑ Last, Y. (1994). "Zero measure spectrum for the almost Mathieu operator". Comm. Math. Phys. 164 (2): 421–432. Bibcode:1994CMaPh.164..421L. doi:10.1007/BF02101708.

[simon1982almost-1] 1 2 Simon, Barry (1982). "Almost periodic Schrodinger operators: a review". Advances in Applied Mathematics. 3 (4): 463–490. doi:10.1016/S0196-8858(82)80018-3.

[2] "Mathieu equation". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Diakses tanggal February 9, 2024.

[3] Simon, Barry (2000). "Schrödinger operators in the twenty-first century". Mathematical Physics 2000. London: Imp. Coll. Press. hlm. 283–288. ISBN 978-1860942303.

[4] Avila, A. (2008). "The absolutely continuous spectrum of the almost Mathieu operator". arΧiv:0810.2965 [math.DS].

[5] Jitomirskaya, S. (2021). "On point spectrum of critical almost Mathieu operators" (PDF). Advances in Mathematics. 392: 6. doi:10.1016/j.aim.2021.107997.

[6] Jitomirskaya, Svetlana Ya. (1999). "Metal-insulator transition for the almost Mathieu operator". Ann. of Math. 150 (3): 1159–1175. arXiv:math/9911265. Bibcode:1999math.....11265J. doi:10.2307/121066. JSTOR 121066.

[7] Avron, J.; Simon, B. (1982). "Singular continuous spectrum for a class of almost periodic Jacobi matrices". Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1): 81–85. doi:10.1090/s0273-0979-1982-14971-0. Zbl 0491.47014.

[8] Jitomirskaya, S.; Simon, B. (1994). "Operators with singular continuous spectrum, III. Almost periodic Schrödinger operators" (PDF). Comm. Math. Phys. 165 (1): 201–205. Bibcode:1994CMaPh.165..201J. doi:10.1007/bf02099743. Zbl 0830.34074.

[9] Last, Y.; Simon, B. (1999). "Eigenfunctions, transfer matrices, and absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schrödinger operators". Invent. Math. 135 (2): 329–367. arXiv:math-ph/9907023. Bibcode:1999InMat.135..329L. doi:10.1007/s002220050288.

[10] Bourgain, J.; Jitomirskaya, S. (2002). "Continuity of the Lyapunov exponent for quasiperiodic operators with analytic potential". Journal of Statistical Physics. 108 (5–6): 1203–1218. arXiv:math-ph/0110040. Bibcode:2002JSP...108.1203B. doi:10.1023/A:1019751801035.

[11] Avila, A.; Jitomirskaya, S. (2005). "Solving the Ten Martini Problem". The Ten Martini problem. Lecture Notes in Physics. Vol. 690. hlm. 5–16. arXiv:math/0503363. Bibcode:2006LNP...690....5A. doi:10.1007/3-540-34273-7_2. ISBN 978-3-540-31026-6.

[12] Bellissard, J.; Simon, B. (1982). "Cantor spectrum for the almost Mathieu equation". J. Funct. Anal. 48 (3): 408–419. doi:10.1016/0022-1236(82)90094-5.

[13] Puig, Joaquim (2004). "Cantor spectrum for the almost Mathieu operator". Comm. Math. Phys. 244 (2): 297–309. arXiv:math-ph/0309004. Bibcode:2004CMaPh.244..297P. doi:10.1007/s00220-003-0977-3.

[14] Avila, A.; Krikorian, R. (2006). "Reducibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrödinger cocycles". Annals of Mathematics. 164 (3): 911–940. arXiv:math/0306382. doi:10.4007/annals.2006.164.911.

[15] Last, Y. (1993). "A relation between a.c. spectrum of ergodic Jacobi matrices and the spectra of periodic approximants". Comm. Math. Phys. 151 (1): 183–192. Bibcode:1993CMaPh.151..183L. doi:10.1007/BF02096752.

[16] Last, Y. (1994). "Zero measure spectrum for the almost Mathieu operator". Comm. Math. Phys. 164 (2): 421–432. Bibcode:1994CMaPh.164..421L. doi:10.1007/BF02101708.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]