統計学において位置母数 (英 : Location parameter )とは、確率分布 における母数 の一種であり、分布の「位置」を記述する。ある確率分布が
x
0
{\displaystyle x_{0}}
確率分布関数が
f
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x-x_{0})}
[ 1]
累積分布関数 が
F
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle F(x-x_{0})}
[ 2]
X
{\displaystyle X}
x
0
+
X
{\displaystyle x_{0}+X}
[ 3] 位置母数の代表的な例は、正規分布 において期待値 に一致するパラメータである。これを
μ
{\displaystyle \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
分散
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
確率密度関数 は
f
(
x
|
μ
,
σ
)
=
1
σ
2
π
exp
(
−
1
2
(
x
−
μ
σ
)
2
)
{\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}
で表されるが、これは期待値
0
{\displaystyle 0}
分散
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
g
(
x
′
|
σ
)
=
1
σ
2
π
exp
(
−
1
2
(
x
′
σ
)
2
)
{\displaystyle g(x'|\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x'}{\sigma }}\right)^{2}\right)}
で
x
′
=
x
−
μ
{\displaystyle x'=x-\mu }
確率変数が1次元の場合、上記の定義から、
x
0
{\displaystyle x_{0}}
位置母数は、他にも母数を持つような確率分布の族であっても存在する可能性がある。この場合、確率分布は一般的に
f
x
0
,
θ
(
x
)
=
f
θ
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}
のような形を持つ。ここで、
x
0
{\displaystyle x_{0}}
θ
{\displaystyle \theta }
f
θ
{\displaystyle f_{\theta }}
θ
{\displaystyle \theta }
George & Roger[ 4]
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
g
(
x
|
μ
,
σ
)
=
1
σ
f
(
x
−
μ
σ
)
{\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}
も確率密度関数となる。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
F
=
{
f
(
x
−
μ
)
:
μ
∈
R
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
μ
{\displaystyle \mu }
位置母数分布族の別の考え方として、加法的ノイズ を考えることが挙げられる。
x
0
{\displaystyle x_{0}}
W を確率密度
f
W
(
w
)
{\displaystyle f_{W}(w)}
X
=
x
0
+
W
{\displaystyle X=x_{0}+W}
f
x
0
(
x
)
=
f
W
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}
項目冒頭の位置母数に関する3つの定義が互いに等価であることを確認する。興味のある確率密度関数を
p
X
(
x
)
{\displaystyle p_{X}(x)}
x
{\displaystyle x}
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt}
p
X
(
x
)
=
f
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle p_{X}(x)=f(x-x_{0})}
CDF
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
p
X
(
x
′
)
d
x
′
=
∫
−
∞
x
f
(
x
′
−
x
0
)
d
x
′
{\displaystyle \operatorname {CDF} _{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}p_{X}(x')dx'=\int _{-\infty }^{x}f(x'-x_{0})dx'}
である。ここで、
x
′
−
x
0
=
y
{\displaystyle x'-x_{0}=y}
CDF
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
−
x
0
f
(
y
′
)
d
y
′
=
F
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle \operatorname {CDF} _{X}(x)=\int _{-\infty }^{x-x_{0}}f(y')dy'=F(x-x_{0})}
が成立する。よって、累積分布関数は
F
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle F(x-x_{0})}
X
{\displaystyle X}
CDF
X
(
x
)
=
F
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle \operatorname {CDF} _{X}(x)=F(x-x_{0})}
CDF
Y
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {CDF} _{Y}(x)=F(x)}
Y
{\displaystyle Y}
F
(
x
−
x
0
)
=
Prob
(
X
≤
x
)
=
Prob
(
Y
≤
x
−
x
0
)
=
Prob
(
Y
+
x
0
≤
x
)
{\displaystyle F(x-x_{0})=\operatorname {Prob} (X\leq x)=\operatorname {Prob} (Y\leq x-x_{0})=\operatorname {Prob} (Y+x_{0}\leq x)}
が全ての
x
{\displaystyle x}
X
=
Y
+
x
0
{\displaystyle X=Y+x_{0}}
Y
{\displaystyle Y}
X
=
Y
+
x
0
{\displaystyle X=Y+x_{0}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
y
)
{\displaystyle f(y)}
p
X
(
x
)
=
p
Y
(
x
−
x
0
)
=
f
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle p_{X}(x)=p_{Y}(x-x_{0})=f(x-x_{0})}
で表せることがわかる。
^ Takeuchi, Kei (1971). “A Uniformly Asymptotically Efficient Estimator of a Location Parameter”. Journal of the American Statistical Association 66 (334): 292–301. doi :10.1080/01621459.1971.10482258 . ^ Huber, Peter J. (1992). “Robust Estimation of a Location Parameter” . Breakthroughs in Statistics . Springer Series in Statistics. Springer. pp. 492–518. doi :10.1007/978-1-4612-4380-9_35 . ISBN 978-0-387-94039-7 . http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177703732 ^ Stone, Charles J. (1975). “Adaptive Maximum Likelihood Estimators of a Location Parameter”. The Annals of Statistics 3 (2): 267–284. doi :10.1214/aos/1176343056 . ^ Casella, George; Berger, Roger (2001). Statistical Inference (2nd ed.). Thomson Learning. pp. 116. ISBN 978-0534243128
