数列极限

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数列極限（英語：limit of a sequence）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

極限的定義 — 取一复数數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$，若有一複數 $z\in \mathbb {C}$ ，使得

「对于任意的正实数 $\epsilon >0$，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，則 $|z_{i}-z|<\epsilon$ 」

用正式的邏輯語言来表示即

$(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]$

则称数列${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$收敛于 $z$（convergent to $z$ ），並记作

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

如果不存在這樣的複數 $z\in \mathbb {C}$，則稱 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是發散的（divergent）。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 $\{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 來說，若

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

則其極限 $z$ 一定為实数 ，

證明
假設 $z$ 的虛部 $\operatorname {Im} (z)\neq 0$ 的話，則對極限定義取 $\epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0$ 的話，會存在 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$有 $|z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|$ 這是矛盾的，所以根據反證法，$\operatorname {Im} (z)=0$ ，即 $z\in \mathbb {R}$ 。$\Box$

基本性質

唯一性

定理 — 若數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的極限存在，則極限是唯一的。

證明

設數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 有兩個不相等的極限值$z,\,z^{\prime }\in \mathbb {C}$，則根據假設，對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$，使任意 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|z_{i}-z|<{\frac {\epsilon }{2}}$ $|z_{i}-z^{\prime }|<{\frac {\epsilon }{2}}$ 這樣根據三角不等式，對任意的 $\epsilon >0$ ， 只要自然數 $i>n$ 就有則 $|z-z^{\prime }|=|(z-z_{i})-(z^{\prime }-z_{i})|\leq |z-z_{i}|+|z^{\prime }-z_{i}|<\epsilon$ 這樣的話，根據不極限不相等的假設有 $|z-z^{\prime }|>0$ 所以可以取$\epsilon =|z-z^{\prime }|$而得到 $|z-z^{\prime }|<|z-z^{\prime }|$ 這樣是矛盾的，故根據反證法， $|z-z^{\prime }|=0$ ，也就是 $z=z^{\prime }$，故極限唯一。$\Box$

有界性

定理 — 若複數數列$\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$有極限，則存在正实数 $M>0$ ，使得對所有的自然数 $i\in \mathbb {N}$ 都有 $|x_{i}|\leq M$。

（即 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有極限則必為有界數列）

證明
因為$\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$有極限，所以有复数 $L\in \mathbb {C}$ 滿足 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ 這樣的話，對於 $\epsilon =1>0$ ，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，則 $|x_{i}-L|<\epsilon =1$ 從而 $|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$ 這樣的話，令 $M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)$ 就會有 $|x_{i}|\leq M$ 故得証。$\Box$

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個複數數列無界，則這個複數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，在假設可數版本的選擇公理成立的情況下，則可以證明此數列有極限。

保序性

定理 — 有實數數列 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

則「$a>b$ 」等價於「存在$n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $x_{i}>y_{i}$」。

證明

左至右： 取$\epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$，則由前提假設，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}$ $|y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}$ 从而 $y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ 故 $y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$ 這樣取 $n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ ，左至右就得證。$\Box$ 右至左： 由前提假設，對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}$ 就有 $\epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a$ $\epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b$ $x_{i}>y_{i}$ 从而 $0<x_{i}-y_{i}<a-b$ 故得證。$\Box$

四則運算定理

加減法定理 — 有複數數列 $\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

則

$\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b$

證明

對任意$\epsilon >0$ 有 ${\frac {\epsilon }{2}}>0$ ，所以根據前提，對 $\epsilon >0$ 存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}$ $|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$ 這樣根據三角不等式有 $|(x_{i}-y_{i})-(a-b)|\leq |x_{i}-a|+|b-y_{i}|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$ $|(x_{i}+y_{i})-(a+b)|\leq |x_{i}-a|+|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$ 故得證。$\Box$

乘法定理 — 有複數數列 $\{x_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {C} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

則

$\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b$

證明

對任意正整數$j\in \mathbb {N}$ 有 $x_{j}(y_{j}-b)+b(x_{j}-a)=x_{j}y_{j}-ab$ (1) 且根據上面的有界性，存在$M>0$ 使得 $|x_{j}|\leq M$ (2) 那對任意的$\epsilon >0$ 有 ${\frac {\epsilon }{|b|+M}}>0$ ，所以根據前提，對 $\epsilon >0$ 存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有 $|x_{i}-a|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}$ $|y_{i}-b|<{\frac {\epsilon }{|b|+M}}$ 這樣根據三角不等式和(1)(2)式就有 $|x_{i}y_{i}-ab|\leq |x_{i}||y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|\leq M|y_{i}-b|+|b||x_{i}-a|<M{\frac {\epsilon }{|b|+M}}+|b|{\frac {\epsilon }{|b|+M}}=\epsilon$ 故得證。$\Box$

除法定理 — 
有實數數列${\{x_{i}\in \mathbb {R} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 滿足

(1) $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

(2) $a\neq 0$

(3) 存在正整數$m\in \mathbb {N}$ 使任意正整數 $j\in \mathbb {N}$ 只要 $j>m$ 則$x_{j}\neq 0$

則

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{a}}$

證明

根據前提(1)，對 ${\frac {|a|}{2}}>0$ 存在 $n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $a-{\frac {|a|}{2}}<x_{i}<a+{\frac {|a|}{2}}$ (a) 根據實數系的三分律跟前提(2)，不是 $a>0$ 就是 $a<0$； 先假設$a>0$ ，那根據(a)有 ${\frac {|a|}{2}}={\frac {a}{2}}<x_{i}=|x_{i}|$ (b) 另一方面，若$a<0$，同樣根據(a)有 $x_{i}<{\frac {a}{2}}<0$ (c) 所以綜合(b)(c)，可以結論 「存在 $n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有${\frac {1}{|x_{i}|}}<{\frac {2}{|a|}}$」(d) 那對任意的$\epsilon >0$ 有 ${\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}>0$ ，所以根據前提(2)(3)和式(d)，對 $\epsilon >0$ 存在 $n_{1}\in \mathbb {N}$ ，使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n,\,m\}$ 就有 $\left|{\frac {1}{x_{i}}}-{\frac {1}{a}}\right|={\frac {|x_{i}-a|}{|a||x_{i}|}}<{\frac {2|x_{i}-a|}{|a|^{2}}}<{\frac {2}{|a|^{2}}}\cdot {\frac {|a|^{2}\epsilon }{2}}=\epsilon$ 故得證。$\Box$

以上的除法定理配上乘法定理，就可以對一般${\frac {x_{i}}{y_{i}}}=x_{i}\cdot {\frac {1}{y_{i}}}$的狀況取極限。

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列

主条目：柯西序列

參看

• 级数
• 函数极限