次调和函数

次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。

次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。

若將以上的「不大於」改為「不小於」，就可以定義過調和函數（Superharmonic）。過調和函數其實就是次调和函数的加法逆元，因此有關次调和函数的性質都可以轉換為過调和函数的對應性質。

正式定義

次調和函數的正式定義可以表示如下。令$G$是欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$的子集，且令 $$\varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$$ 為上半連續函數。則$\varphi$稱為次調和函數，若針對所有$G$內，球心為$x$，半徑為$r$的閉球${\overline {B(x,r)}}$，以及閉球${\overline {B(x,r)}}$內的實值连续函数$h$，在$B(x,r)$上為调和函数，且在$B(x,r)$邊界$\partial B(x,r)$上的每一個$y$，都可以使$\varphi (y)\leq h(y)$成立。也就可以得到$\varphi (y)\leq h(y)$在所有$y\in B(x,r)$都成立。

若函數$u$為次調和函數，則函數$-u$即為過調和函數。

性質

• 一函數為调和函数当且仅当其為次调和函数且是過调和函数。
• 若$\phi$在$\mathbb {R} ^{n}$內的开集$G$中為C²（二次連續可微），則$\phi$為次調和函數当且仅当在$G$內$\Delta \phi \geq 0$成立，其中$\Delta$為拉普拉斯算子。
• 次調和函數的最大值在其內部的條件是該函數為常數，此為最大值定理，王過，次調和函數的最小值可以在其內部。
• 次調和函數形成凸锥，也就是說，次調和函數正係數的線性組合，仍為次調和函數。
• 二個次調和函數的逐点最大值也是次調和函數。
• 次調和函數的遞減級數的極限也是次調和函數。
• 在一般的拓樸下，次調和函數不一定是連續的。不過可以引進fine topology使其連續。

相關條目

• 多重次調和函數：在多複變變數函數下的推廣。

參考資料

• Conway, John B. Functions of one complex variable. New York: Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3. 

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