圆柱形导体横截面中电流分布示意图。对于交流電 ，电流密度从表面向内部呈指数性减小。趋肤深度δ定义为电流密度下降到表面处值的1/e（约 37%）处的深度；该值依赖于电流频率以及导体的电磁学性质。 電磁爐 使用绞合线（辫线 理想中（圖左）電子在導體中以平均分佈的方式傳導 流通，集膚效應（圖右）則是電子集中在導體的近外膚位置上流通，使橫切面的核心部位呈現空泛狀態，進而使電流輸送量減少。 在电磁学中，集膚效應 （又称趋肤效应 或直譯作表皮效應 ，英語：Skin effect 导体 中有交流电 或者交变电磁场 时，导体内部的电流 分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度 呈指數衰減 ，即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直 的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分，所以称为集膚效應 。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场 在导体内部产生渦電流 ，与原来的电流相抵消。
集肤效应使得导体的电阻 随着交流电的频率 增加而增加，并导致导线传输电流时效率减低，耗费金属资源。在铜中，当频率为60赫兹 时，趋肤深度约为8.5毫米。在高频时，趋肤深度会更小得多。
由于趋肤效应导致的交流电阻增大，可通过使用一种专门的多股绞合导线（称为辫线
趋肤效应在无线电 频率的设计、微波 线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。在交流电力传输 与配电系统（50-60 Hz）中，趋肤效应也十分重要。它也是在长距离输电中偏好使用高壓直流輸電 （HVDC）的原因之一。
集肤效应最早在英國應用數學家贺拉斯·兰姆 （Horace Lamb）1883年發表的一份论文 中提及，只限于球壳状的导体。[ 1] 奥利弗·赫维赛德 （Oliver Heaviside）将其推广到任何形状的导体。
导体（通常为导线）可用于利用其中流动的交流传输电能或信号。构成电流的电荷载流子（通常为电子 ）在电源产生的電場 作用下被驱动。导体中的电流会在导体内外产生磁场。当导体中电流强度变化时，磁场也随之变化。磁场的变化反过来又产生一个与电流强度变化方向相反的电场——这种反向电场称为反电动势 （back EMF）。反电动势在导体中心处最强/最集中，从而使电流主要只能在导体外侧的皮层流动。[ 2] [ 3]
无论驱动力如何，电流密度 在导体表面处最大，往导体深处其幅度逐渐减小。这种电流密度的下降称为“趋肤效应”，而“趋肤深度”则是指电流密度下降到表面处值的1/e （约37%）时所对应的深度。超过98%的电流将在距表面四倍趋肤深度的层内流动。该行为不同于直流情形——直流電 通常在导线的整个横截面上均匀分布。
根据电磁感应 定律，交变磁场也可以在导体中“感应”出交流电流。当電磁輻射 入射到导体上时，通常会产生这样的感应电流；这解释了电磁波在金属中的衰减。尽管“趋肤效应”一词通常与电流传输的应用相关联，趋肤深度同样描述平面波 在垂直 入射导体表面时，电场和磁场以及感应电流密度在材料内部的指数衰减现象。
趋肤效应的成因。主电流
I
{\displaystyle \mathrm {I} }
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
I
W
{\displaystyle \mathrm {I_{W}} }
当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时，随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度
J
{\displaystyle J}
d
{\displaystyle d}
指数衰减 ：[ 4]
J
=
J
S
e
−
(
1
+
j
)
d
/
δ
{\displaystyle J=J_{\mathrm {S} }\,e^{-{(1+j)d/\delta }}}
J
s
{\displaystyle J_{s}}
x
{\displaystyle x}
δ
{\displaystyle \delta }
电阻率 以及交流电的频率有关的系数，称为趋肤深度（skin depth），定义为导体表面下方电流密度降至表面值的1/e（约 0.37）处的深度。指数项的虚部表明电流密度的相位随渗透深度而延迟 ：每增加一个趋肤深度，相位延迟 1弧度。导体内完成一个完整的波长 需要2π个趋肤深度，此时电流密度被衰减到e−2π （约 1.87×10−3 ，或 −54.6 dB） 的表面值。导体内的波长远短于真空 中的波长，等价地，导体内的相速度 远小于真空中的光速 。例如，1 MHz的无线电波在真空中的波长
λ
0
{\displaystyle \lambda _{0}}
斯涅尔定律 及导体中极小的相速度，任何入射到导体的波，即使为掠入射，也几乎都会折射到与导体表面垂直的方向。
在无介质或磁性损耗情况下，趋肤深度的一般公式为：[ 5]
δ
=
2
ρ
ω
μ
(
1
+
(
ρ
ω
ε
)
2
+
ρ
ω
ε
)
{\displaystyle \delta ={\sqrt {{\frac {\,2\rho \,}{\omega \mu }}\left({\sqrt {1+\left({\rho \omega \varepsilon }\right)^{2}\,}}+\rho \omega \varepsilon \right)\,}}}
ρ
{\displaystyle \rho }
电阻率
ω
{\displaystyle \omega }
μ
{\displaystyle \mu }
磁导率 =
μ
0
⋅
μ
r
{\displaystyle \mu _{0}\cdot \mu _{r}}
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
真空磁导率 ，
μ
r
{\displaystyle \mu _{r}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
r
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}
ε
r
{\displaystyle \varepsilon _{r}}
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
当频率远低于
1
ρ
ε
{\displaystyle {\frac {1}{\rho \varepsilon }}}
δ
=
2
ρ
ω
μ
{\displaystyle \delta ={\sqrt {{\frac {\,2\rho \,}{\omega \mu }}\,}}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
等离子体频率 （取决于材料中自由电子密度）以及远低于导电电子平均碰撞间隔的倒数时成立。在诸如金属等良导体中，这些条件至少在微波频率范围内都成立，因此上述简化公式是合理的。举例而言，对于铜来说，这一近似在远低于约1018 Hz的频率下成立。
然而在极差的导体中（导电性很低），在足够高的频率下，括号内的量会增大。当频率远高于
1
ρ
ε
{\displaystyle {\frac {1}{\rho \varepsilon }}}
δ
≈
2
ρ
ε
μ
{\displaystyle \delta \approx {2\rho }{\sqrt {{\frac {\,\varepsilon \,}{\mu }}\,}}}
圆形导线在不同趋肤深度下的电流密度。每条曲线旁的数字为趋肤深度与导线半径之比。带无穷符号的曲线为零频（直流）情形。所有曲线均归一化，使得表面处的电流密度相同。横轴为导线内的位置，左右两端为导线表面；纵轴为相对电流密度。 假设
I
(
r
)
{\displaystyle I(r)}
r 处到导线表面的截面上通过的电流，
I
{\displaystyle I}
I
(
r
)
I
=
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}
其中Ber 和Bei 为0阶的开尔文-贝塞尔函数 的相应原函数 （具体见下）。
考虑一个半径为a ，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場，則在圆柱中有频率为ω 的正弦 交流 电流。由麦克斯韦方程组 ，
麦克斯韦-法拉第方程：
∇
×
E
=
−
i
ω
B
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} }
麦克斯韦-安培方程：
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
其中：
在导体中，欧姆定律 的微分形式为：
J
=
σ
E
{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} }
σ 是导体的电导率 。
我们假设导体是均匀的，于是导体各处的μ 和σ 都相同。于是有：
∇
×
J
=
−
i
ω
σ
B
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} }
∇
×
B
=
μ
J
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} }
在圓柱坐標系 (r , θ, z )（z 为圆柱导体的轴心）中，设电磁波随z 轴前进，由对称性，电流密度是一个只和r 有关的函数：
J
=
(
0
0
j
(
r
)
)
{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}}
取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度 ，就有：
∇
×
(
∇
×
J
)
=
−
i
ω
σ
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )}
也就是：
∇
d
i
v
J
−
Δ
J
=
−
i
ω
σ
μ
J
{\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
由之前对电流密度的假设，
d
i
v
J
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0}
Δ
J
=
i
ω
σ
μ
J
{\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子
Δ
{\displaystyle \Delta }
d
2
j
d
r
2
(
r
)
+
1
r
d
j
d
r
(
r
)
=
i
ω
σ
μ
j
(
r
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)}
令
k
2
=
i
ω
σ
μ
{\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu }
r 2 就得到电流密度应该满足的方程：
r
2
d
2
j
d
r
2
(
r
)
+
r
d
j
d
r
(
r
)
−
r
2
k
2
j
(
r
)
=
0
{\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0}
在进行代换
ξ
=
i
k
r
{\displaystyle \xi =i\,k\,r}
贝塞尔方程 ：
ξ
2
d
2
j
d
ξ
2
(
ξ
)
+
ξ
d
j
d
ξ
(
ξ
)
+
ξ
2
j
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0}
由电流密度在r = 0的连续性，方程的解具有
J
0
(
ξ
)
{\displaystyle J_{0}(\xi )}
J 0 是零阶的第一类贝塞尔函数 。于是：
j
(
r
)
=
j
0
J
0
(
i
k
r
)
{\displaystyle j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)}
其中j 0 是一个常数 ，k 为：
k
=
i
ω
σ
μ
=
1
+
i
2
ω
σ
μ
=
1
+
i
δ
{\displaystyle k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}}
其中δ 是集肤深度，
δ
=
2
ω
σ
μ
{\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}}
i
k
=
−
1
+
i
δ
=
e
i
3
π
/
4
2
δ
{\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}}
最后，电流密度为：
j
(
r
)
=
j
0
J
0
(
e
i
3
π
/
4
2
r
δ
)
=
j
0
(
b
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
b
e
i
(
2
r
δ
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j_{0}\,(ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}}
其中ber 和bei 是0阶的开尔文-贝塞尔函数 。
于是通过整个截面的电流总和就是：
I
=
∫
0
a
j
(
r
)
2
π
r
d
r
=
2
π
j
0
∫
0
a
J
0
(
e
i
3
π
/
4
2
r
δ
)
r
d
r
=
π
δ
2
j
0
∫
0
2
a
/
δ
(
b
e
r
(
x
)
+
i
b
e
i
(
x
)
)
x
d
x
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}}
记Ber 和Bei 为相应的原函数 ：
B
e
r
(
x
)
=
∫
0
x
b
e
r
(
x
′
)
x
′
d
x
′
et
B
e
i
(
x
)
=
∫
0
x
b
e
i
(
x
′
)
x
′
d
x
′
{\displaystyle Ber(x)=\int _{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et }}\qquad Bei(x)=\int _{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }}
便有如下更简洁的形式：
I
=
π
δ
2
j
0
(
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
)
{\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)}
我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r 处的电流总和：
I
(
r
)
=
∫
a
−
r
a
j
(
r
′
)
2
π
r
′
d
r
′
=
π
δ
2
j
0
(
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
)
{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}
于是有电流的分布函数 ：
I
(
r
)
I
=
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}
趋肤效应对单根导线阻抗影响中最重要的方面是电阻的增加，从而产生额外损耗（例如铜损）。当电流被限制在大于趋肤深度很多的导体表面附近流动时（导体厚度远大于
δ
{\displaystyle \delta }
δ
{\displaystyle \delta }
δ
{\displaystyle \delta }
直径
D
{\displaystyle D}
δ
{\displaystyle \delta }
δ
{\displaystyle \delta }
直流电 的电阻。
R
≈
ρ
δ
(
l
π
(
D
−
δ
)
)
≈
ρ
(
l
π
D
δ
)
{\displaystyle R\approx {{\rho \over \delta }\left({l \over {\pi (D-\delta )}}\right)}\approx {{\rho }\left({l \over {\pi D\delta }}\right)}}
其中：
l
{\displaystyle l}
D
{\displaystyle D}
上式最后的近似假设
D
≫
δ
{\displaystyle D\gg \delta }
一个便捷的经验公式（来自弗雷德里克·特曼 ）给出了在频率
f
{\displaystyle f}
D
W
{\displaystyle D_{W}}
[ 6]
D
W
=
200
m
m
f
/
H
z
{\displaystyle D_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} }}}}
以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于邻近的导线（例如電纜 或线圈），交流电阻会受到邻近效应 的影响而显著增大，可能导致交流电阻进一步增加。单位长度段圆导线的“内部”阻抗 为：[ 7]
Z
int
=
k
ρ
2
π
R
J
0
(
k
R
)
J
1
(
k
R
)
.
{\displaystyle \mathbf {Z} _{\text{int}}={\frac {k\rho }{2\pi R}}{\frac {J_{0}(kR)}{J_{1}(kR)}}.}
圆形导线内部电感分量随趋肤深度与半径之比的变化。随着趋肤深度变小（频率增大），该自电感分量低于 μ/8π。 圆形导线的交流电阻与直流电阻之比随导线半径与趋肤深度之比的关系。当趋肤深度相对于半径变小时，交流/直流电阻之比趋近于半径/趋肤深度比值的一半。 导线电感中可归因于导线内部磁场的那一部分称为内部电感，它对应于上面公式中给出的感抗（阻抗的虚部）。在大多数情况下，这只是导线电感的一小部分，导线电感的大头是由导线产生的外部磁场引起的电磁感应 （即“外部电感”）。与外部电感不同，内部电感会被趋肤效应减小，也就是说，当趋肤深度不再远大于导体尺度（随频率升高而出现）时，内部电感会下降。该小量的电感在低频时趋近于
μ
8
π
{\displaystyle {\frac {\mu }{8\pi }}}
[ 8]
参见下图所示同轴电缆的内外导体构型。由于趋肤效应使高频时电流主要流经导体表面，可以看出这将减少导线内部的磁场 —— 即在大部分电流流动深度以下的区域。可以证明，这对导线本身的自感只有很小的影响；关于该现象的数学处理见Skilling[ 9] [ 8]
此处讨论的电感是指裸导体的电感，而不是作为电路元件使用的线圈的电感。线圈的电感主要由线圈匝间的互感主导，其使电感随匝数的平方增长。然而当仅涉及单根导线时，除了与导线外部磁场有关的“外部电感”（见下图白色区域）之外，还存在一项更小的“内部电感”成分，来自导体内部的磁场（图B中的绿色区域）。当电流集中在导体的表皮处（即趋肤深度不再远大于导线半径）时，这一小的内部电感成分会减小，高频时出现。
对于单根导线，当导线长度远大于其直径时，这种减少变得不那么重要，通常被忽略。然而，在传输线存在第二导体的情况下（例如同轴、双绞线等），外部磁场（以及总自感）的空间范围会被限制，不论导线长度如何，因此趋肤效应导致的电感减小仍然可能很重要。例如在下述的电话双绞线案例中，在趋肤效应显著的更高频率下，导体的电感明显减小（超过20%）。另一方面，当由于线圈几何（匝间互感）使外部电感分量被放大时，内部电感的重要性则更加微不足道，通常可忽略。
一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的辫线 （源自德语 ：Litzendraht ，意为“编织起来的线”）。辫线采用将多条金属导线相互缠绕的方法，使得电磁场能够比较均匀地分布，这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后，产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹 提高到数兆赫兹 。辫线一般应用在高频交流电的传输中，可以同时减缓集肤效应和邻近效应。
高电压大电流的架空电力线路 通常使用钢芯铝绞线 ，这样能使铝质部分的工作部分温度降低，减低电阻率 ，并且由于集肤效应，电阻率较大的钢芯上承载极少的电流，因而无关紧要。
还有将实心导线换成空心导线管，中间补上绝缘材料的方法，这样可以减轻导线的重量。
在传输的频率在甚高频 或微波 级别时，一般会使用镀 银 （已知的除超导体 外最好的导体）的导线，因为这时集肤深度非常的浅，使用更厚的银层已是浪费。
集肤效应使交流電只通过导体的表面，因此电流只在其表面产生热效应。钢铁 工业中利用集肤效应来为钢 进行表面淬火 ，使钢材表面的硬度 增大。
集肤效应也可以描述为：导体中变电磁场 的强度随着进入导体的深度而呈指数递减，因此在防晒霜 中混入导体微粒（一般是氧化锌 和氧化钛 ），就能使阳光中的紫外线 （高频电磁波 ）的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外，集肤效应也是电磁屏蔽 的方法之一，利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置[ 10]
頻率為10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度：
導體
δ（μm ）
鋁
0.80
銅
0.65
金
0.79
銀
0.64
在铜 质导线中，集肤深度和频率的关系大致如下：
频率
δ
60 Hz
8.57 mm
10 kHz
0.66 mm
100 kHz
0.21 mm
1 MHz
66 µm
10 MHz
21 µm
William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition , (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude , (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook , McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above
^ Lamb, Horace. XIII. On electrical motions in a spherical conductor. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1883-01-01, 174 : 519–549. S2CID 111283238 doi:10.1098/rstl.1883.0013 ^ Fink, Donald G.; Beaty, H. Wayne. Standard Handbook for Electrical Engineers 14th. McGraw-Hill. 2000: 2–50. ISBN 978-0-07-022005-8These emf's are greater at the center than at the circumference, so the potential difference tends to establish currents that oppose the current at the center and assist it at the circumference. ^ Johnson, Howard; Graham, Martin. High-Speed Signal propagation Advanced Black Magic 3rd. Prentice Hall. 2003: 58 –78. ISBN 978-0-13-084408-8To understand skin effect, you must first understand how eddy currents operate ... ^ Hayt, William H., Engineering Electromagnetics 5th, McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0070274068 ^ The formula as shown is algebraically equivalent to the formula found on page 130 Jordan (1968 ，第130頁) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFJordan1968 (幫助 )
^ Terman, Frederick Emmons. Radio Engineer's Handbook . McGraw-Hill Book Company, Incorporated. 1943 （英语） . ^ Weeks, Walter L., Transmission and Distribution of Electrical Energy, Harper & Row, 1981, ISBN 978-0060469825 ^ 8.0 8.1 Hayt, William H. Engineering electromagnetics. McGraw-Hill series in electrical engineering 4th ed. New York: McGraw-Hill Book Co. 1981. ISBN 978-0-07-027395-5 ^ Skilling, Hugh H. Electric transmission lines: distributed constants, theory and applications . McGraw-Hill. 1975 （英语） . ^ 林漢年. 《電磁相容分析與設計 : 從PI與SI根因探討》. 滄海圖書. 2021: 第B–3頁. ISBN 9789865647735
![{\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e640d42347c4a8b9df85f2085e2b2004cd465b)
![{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010a9cb5827793c611695150bf5ae768ce14c931)
