미분학 에서 로그 미분법 (logarithmic differentiation) 또는 로그를 취하는 미분법 (differentiation by taking logarithms)은 함수 f 의 로그 미분 을 사용하여 함수 를 미분 하는 데 사용되는 방법이다.[ 1]
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
⟹
f
′
=
f
⋅
(
ln
f
)
′
.
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.}
이 기법은 함수 자체보다는 함수의 로그를 미분하는 것이 더 쉬운 경우에 자주 사용된다. 이는 대개 관심 함수가 여러 부분의 곱으로 구성되어 로그 변환을 통해 개별 부분의 합으로 바뀌는 경우에 발생한다(이것은 미분하기 훨씬 쉽다). 변수 또는 함수의 거듭제곱으로 나타나는 함수에도 유용하게 적용될 수 있다. 로그 미분법은 연쇄 법칙 과 로그 의 속성(특히 자연로그 , 또는 e 를 밑으로 하는 로그)에 의존하여 곱을 합으로, 나눗셈을 뺄셈으로 변환한다.[ 2] [ 3] 미분 가능 함수 의 미분에 부분적으로라도 구현될 수 있으며, 이 함수들이 0이 아니라는 조건이 따른다.
이 방법은 로그의 속성이 복잡한 함수를 빠르게 단순화하여 미분할 수 있는 경로를 제공하기 때문에 사용된다.[ 4] [ 3]
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
,
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
,
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
.
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).}
파아 디 브루노 공식 을 사용하면 n차 로그 도함수는 다음과 같다.
d
n
d
x
n
ln
f
(
x
)
=
∑
m
1
+
2
m
2
+
⋯
+
n
m
n
=
n
n
!
m
1
!
m
2
!
⋯
m
n
!
⋅
(
−
1
)
m
1
+
⋯
+
m
n
−
1
(
m
1
+
⋯
+
m
n
−
1
)
!
f
(
x
)
m
1
+
⋯
+
m
n
⋅
∏
j
=
1
n
(
f
(
j
)
(
x
)
j
!
)
m
j
.
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}
d
2
d
x
2
ln
f
(
x
)
=
f
(
x
)
f
(
x
)
−
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
2
d
3
d
x
3
ln
f
(
x
)
=
f
(
3
)
(
x
)
f
(
x
)
−
3
f
′
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
2
+
2
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
3
d
4
d
x
4
ln
f
(
x
)
=
f
(
4
)
(
x
)
f
(
x
)
−
4
f
′
(
x
)
f
(
3
)
(
x
)
f
(
x
)
2
−
3
(
f
(
x
)
f
(
x
)
)
2
+
12
f
′
(
x
)
2
f
(
x
)
f
(
x
)
3
−
6
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}
두 함수의 곱에 자연로그 를 적용하여
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
)
+
ln
(
h
(
x
)
)
.
{\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).}
연쇄 법칙 과 합 규칙 을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}
[ 5]
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
+
g
(
x
)
h
′
(
x
)
,
{\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),}
곱 규칙 이다.
두 함수의 몫에 자연로그 를 적용하여
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
)
−
ln
(
h
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))}
연쇄 법칙 과 합 규칙 을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
−
h
′
(
x
)
h
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
−
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
−
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
,
{\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},}
이는 미분의 몫 규칙 이다.
다음 형태의 함수에 대해
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}
자연로그 는 지수 연산을 곱으로 변환한다.
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
h
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))}
연쇄 법칙 과 곱 규칙 을 적용하여 미분하면 다음과 같다.
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
}
.
{\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.}
exp 로 다시 쓰고 연쇄 법칙을 적용하여 얻을 수 있다.
대문자 파이 표기법 을 사용하여 다음과 같이 나타내자.
f
(
x
)
=
∏
i
(
f
i
(
x
)
)
α
i
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}}
자연로그를 적용하면 ( 대문자 시그마 표기법 으로) 다음과 같다.
ln
(
f
(
x
)
)
=
∑
i
α
i
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
,
{\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
∑
i
[
α
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
α
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
]
.
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}
f
′
(
x
)
=
∏
i
(
f
i
(
x
)
)
α
i
(
x
)
⏞
f
(
x
)
×
∑
i
{
α
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
α
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
}
⏞
[
ln
(
f
(
x
)
)
]
′
.
{\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}
↑ Krantz, Steven G. (2003). 《Calculus demystified》. McGraw-Hill Professional. 170쪽. ISBN 0-07-139308-0 ↑ N.P. Bali (2005). 《Golden Differential Calculus》. Firewall Media. 282쪽. ISBN 81-7008-152-1 ↑ 가 나 Bird, John (2006). 《Higher Engineering Mathematics》. Newnes. 324쪽. ISBN 0-7506-8152-7 ↑ Blank, Brian E. (2006). 《Calculus, single variable》. Springer. 457쪽. ISBN 1-931914-59-1 ↑ Williamson, Benjamin (2008). 《An Elementary Treatise on the Differential Calculus》. BiblioBazaar, LLC. 25–26쪽. ISBN 978-0-559-47577-1
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9f839931a9826b2e1f791df77609ca56a421d5)
이 부분의 본문은 곱 규칙입니다.
![{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36c147dcca7d2378a3e0e964ca18568639d44fa)
![{\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab3964125c3f7ef9c448fba8cc7b52acfe6cc53)