차원 축소 (물리학)

이론물리학에서, 차원 축소(次元縮小, 영어: dimensional reduction)는 고차원에 정의된 장론으로부터, 더 낮은 차원에 존재하는 장론을 구성하는 방법이다.

정의

$D+n$ 차원에서, 어떤 장론이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 다음과 같은 과정을 가하자.

우선, 이 이론을 $M_{D}\times \Sigma _{n}$ 의 꼴의 공간 위에 정의한다 (축소화). 여기서 $\Sigma _{n}$ 은 콤팩트 리만 다양체이며, 보통 $n$ 차원 원환면을 사용한다.
이제, $\Sigma _{n}$ 의 부피가 0이 되는 극한을 취한다. 그렇다면, 질량이 $\Sigma _{n}$ 의 크기의 역수에 비례하는 칼루차-클라인 장들은 무한대의 질량을 갖게 되어, 이론에서 적분하여 없앨 수 있다.

그렇다면, $M_{D}$ 위에 정의되는 $D$ 차원 장론을 얻게 된다. 이를 원래 이론의 $D$ 차원 차원 축소라고 한다.

성질

구체적으로, 장들은 차원 축소 아래 다음과 같은 표현을 갖는다. 여기서

$M,N,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,D+n-1\}$ 는 $D+n$ 차원에서의 벡터 지표이다.
$\mu ,\nu ,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,D-1\}$ 는 $D$ 차원에서의 벡터 지표이다.
$i,j,\dotsc \in \{D,D+1,\dotsc ,D+n-1\}$ 는 축소된 차원들의 지표이다.

스칼라장

스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다.

양-밀스 장

$D+n$ 차원에서, 게이지 군 $G$ 에 대한 양-밀스 장 $A_{M}^{a}$ 는 $D$ 차원에서 1개의 양-밀스 장 $A_{\mu }^{a}$ 및 $n$ 개의 딸림표현 스칼라장 $A_{i}^{a}$ 들로 분해된다.

미분 형식

$D+n$ 차원에서 $p$ 차 미분 형식 게이지 장 $A_{M_{1}\dotsb M_{p}}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 $D$ 차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다.

각 $k\in \{0,1,\dotsc ,p\}$ 에 대하여, $\textstyle {\binom {n}{p-k}}$ 개의 $k$ 차 미분 형식 게이지장 $A_{\mu _{1}\dotso \mu _{k}i_{k+1}\dotso i_{p}}$

이때, $k$ 차 미분 형식 게이지장은 물론 쌍대화에 따라서 $D-2-k$ 차 미분 형식 게이지장과 동치이다.

중력장

$D+n$ 차원의 중력장 $g_{MN}$ 은 $D$ 차원에서 다음과 같이 분해된다.

$n(n+1)/2$ 개의 스칼라장 $g_{ij}$ . 이 가운데 하나는 딜라톤을 이룬다.
1개의 중력장 $g_{\mu \nu }$
$n$ 개의 U(1) 게이지장 $g_{\mu i}$ . 그 게이지 대칭은 $D+n$ 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭 가운데 $D$ 차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다.

페르미온

페르미온은 차원 축소 아래 페르미온으로 남게 된다. 만약 $D$ 가 홀수일 때, $D+1$ 차원에서의 바일 스피너는 $D$ 차원에서의 디랙 스피너가 된다.

예

4차원 일반 상대성 이론을 3차원으로 차원 축소한다고 하자. 이 경우, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 딜라톤으로 분해된다. 그런데 3차원은 다음과 같은 특별한 성질을 갖는다.

3차원에서 중력장은 국소 자유도를 갖지 않는다.
3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다.

즉, 이 경우 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 시그마 모형으로 적을 수 있게 된다.^[1]^[2]

구체적으로, 4차원 필바인 $E_{M}{}^{A}$ 을 다음과 같이 적자.

E_{M}{}^{A}={\begin{pmatrix}e_{\mu }{}^{\alpha }/{\sqrt {\Delta }}&{\sqrt {\Delta }}A_{\mu }\\0&{\sqrt {\Delta }}\end{pmatrix}}

여기서

$e_{\mu }{}^{\alpha }$ 는 3차원 필바인이다.
$\Delta$ 는 딜라톤이다.
$A_{\mu }$ 는 3차원의 게이지장이다.

이 경우, 작용은 다음과 같다.

S=\int _{M_{3}}\left(\det e)(-{\frac {1}{4}}\operatorname {Ric} [e]-{\frac {1}{16}}\Delta ^{2}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\frac {1}{8}}\Delta ^{-2}\partial ^{\mu }\Delta \partial _{\mu }\Delta \right)

여기서 물론 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 $g_{\mu \nu }=e_{\mu }{}^{\alpha }e_{\nu }{}^{\beta }\eta _{\alpha \beta }$ 에 의한 것이다. 이제, 게이지장을 다음과 같이 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 가우스 법칙

\partial _{\mu }\left((\det e)\Delta ^{2}F^{\mu \nu }\right)=0

은 다음과 같은 자기 퍼텐셜 스칼라장

\partial _{\mu }B={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho }F_{\nu \rho }\Delta ^{2}

으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다.

S={\frac {1}{8}}\int _{M_{3}}(\det e){\frac {\partial ^{\mu }B\partial _{\mu }B+\partial ^{\mu }\Delta \partial _{\mu }\Delta }{\Delta ^{2}}}

이는 $(B,\Delta )$ 에 대한 시그마 모형이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 리만 다양체는 2차원 쌍곡 평면이다.

물론, 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위와 같은 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

같이 보기

참고 문헌

↑ Gibbons, G. W.; Hawking, Stephen W. (1979). “Classification of gravitational instanton symmetries”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 66 (3): 291–310. MR 0535152.
↑ Julia, Bernard (1981). 〈Group disintegrations〉. Hawking, Stephen W.; Roček, Martin. 《Superspace and Supergravity, Proceedings of the Workshop held in July 1980 in Cambridge, England》 (영어). Cambridge University Press. 331–350쪽. Bibcode:1981sssg.conf..331J.

외부 링크

“Kaluza-Klein mechanism”. 《nLab》 (영어).

[1] Gibbons, G. W.; Hawking, Stephen W. (1979). “Classification of gravitational instanton symmetries”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 66 (3): 291–310. MR 0535152.

[2] Julia, Bernard (1981). 〈Group disintegrations〉. Hawking, Stephen W.; Roček, Martin. 《Superspace and Supergravity, Proceedings of the Workshop held in July 1980 in Cambridge, England》 (영어). Cambridge University Press. 331–350쪽. Bibcode:1981sssg.conf..331J.

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