九點模版

数值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（英語：nine-point stencil）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。

二維下的九點模版

動機

若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷积核：

$D_{CD}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

從均勻的初始條件開始，只有一個類似點狀的擾動，確切解會得到圓，若其成長速率在軸上比較快，就會有中央差分離散化的各向异性效果，圓形會變成星形

雖然比較容易計算，計算量也比較少，但中央等化子會有不希望出現的本質性各向异性，因為此等化子沒有考慮對角的影響。若在一些要求準確的應用中，拉普拉斯運算子的效果在座標軸上較快，其他方向較慢，這本質性的各向异性會是問題，會扭曲模擬結果。

上述問題開始讓研究者尋找較好的離散拉普拉斯運算子的方法，希望可以消除各向异性。

實現

以下是二個最常見的各向同性九點模版，以其卷积核的形式表示。可以用以下的公式求得：

$D=(1-\gamma ){\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}+\gamma {\begin{bmatrix}1/2&0&1/2\\0&-2&0\\1/2&0&1/2\end{bmatrix}}$

第一個是因Oono-Puri而得名，係數是γ=1/2。

$D_{OP}={\begin{bmatrix}1/4&2/4&1/4\\2/4&-12/4&2/4\\1/4&2/4&1/4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.5&0.25\\0.5&-3&0.5\\0.25&0.5&0.25\end{bmatrix}}$

第二個是因為Patra-Karttunen或Mehrstellen而得名，係數是γ=1/3。

$D_{PK}={\begin{bmatrix}1/6&4/6&1/6\\4/6&-20/6&4/6\\1/6&4/6&1/6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.16&0.66&0.16\\0.66&-3.33&0.66\\0.16&0.66&0.16\end{bmatrix}}$

兩個都是離散拉普拉斯算子的各向同性形式，在小Δx的極限下，兩者等價。Oono-Puri是各向同性離散化的最佳解，整體誤差都縮小，而Patra-Karttunen在加入旋轉不變量的條件下，已有系統性的研究，在原點附近誤差最小。