拉回 (微分几何)

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 $\phi :M\rightarrow N$ 是从光滑流形 $M$ 到 $N$ 的光滑映射；那么伴随有一个从 $N$ 上 1- 形式（余切丛的截面）到 $M$ 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 $\phi$ 拉回，经常记作 $\phi ^{*}$ 。更一般地，任何 $N$ 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 $\phi$ 拉回到 $M$ 上。

当映射 $\phi$ 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 $N$ 上的张量场变换到 $M$ ，或者相反。特别地，如果 $\phi$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的开集与 $\mathbb {R} ^{n}$ 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

光滑函数与光滑映射

设 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑流形 $M$ 与 $N$ 之间的光滑映射，假设 $f:N\rightarrow \mathbb {R}$ 是 $N$ 上一个光滑函数。则 $f$ 通过 $\phi$ 的拉回是 $M$ 上的光滑函数 $\phi ^{*}f$ ，定义为 $(\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))$ 。类似地，如果 $f$ 是 $N$ 中开集 $U$ 上的光滑函数，则相同的公式定义了 $M$ 中开集 $\phi ^{-1}(U)$ 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 $N$ 上光滑函数层到 $\phi$ 的直接像（在 $M$ 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 $f:N\rightarrow A$ 是从 $N$ 到任意其他流形 $A$ 的光滑映射，则 $\phi ^{*}f(x)=f(\phi (x))$ 是从 $M$ 到 $A$ 的一个光滑映射。

丛与截面

如果 $E$ 是 $N$ 上一个向量丛（或任意纤维丛）， $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑映射，那么拉回丛 $\phi ^{*}E$ 是 $M$ 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 $M$ 中的点 $x$ 处的纤维由 $(\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}$ 给出。

在此情形，前复合定义了 $E$ 上截面的一个变换：如果 $s$ 是 $N$ 上 $E$ 的一个截面，那么拉回截面 $\varphi ^{*}s=s\circ \varphi$ 是 $M$ 上拉回丛 $\phi ^{*}E$ 的一个截面。

多重线性形式

设 $\Phi :V\rightarrow W$ 是向量空间 $V$ 与 $W$ 之间的一个线性映射（即， $\Phi$ 是 $L(V,W)$ 中的元素，也记成 $\hom(V,W)$ ），设

F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R}

是 $W$ 上一个多重线性形式（也称为 $(0,s)$ 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 $s$ 是乘积中 $W$ 的因子的个数）。则 $F$ 由 $\Phi$ 的拉回 $\Phi ^{*}F$ 是一个 $V$ 上的多重线性形式，定义为 $F$ 与 $\Phi$ 的前复合。准确地，给定 $V$ 中向量 $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{s}$ ， $\Phi ^{*}F$ 由公式定义

(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),

这是 $V$ 上一个多重线性形式。从而 $\Phi ^{*}$ 是一个从 $W$ 上的多重线性形式到 $V$ 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 $F$ 是 $W$ 上一个线性形式（或 $(0,1)$ -张量），那么 $F$ 是 $W$ 的对偶空间 $W^{*}$ 中一个元素，则 $\Phi ^{*}F$ 是 $V^{*}$ 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 $\Phi$ 自己的方向相反：

\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 $W$ 上取值于 $r$ 个 $W$ 的张量积 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从 $V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的前推算子，定义为

\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).

然而，如果 $\Phi$ 可逆，拉回可以用逆函数 $\Phi ^{-1}$ 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 $(r,s)$ 阶张量一个拉回算子。

余切向量与 1 形式

设 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑流形间的光滑映射。那么 $\phi$ 的前推： $\phi *=\operatorname {d} \!\phi$ （或 $D\phi$ ），是从 $M$ 的切丛 $TM$ 到拉回丛 $\phi ^{*}TN$ 的（在 $M$ 上）向量丛同态。从而 $\phi *$ 的转置是从 $\phi ^{*}T^{*}N$ 到 $M$ 的余切丛 $T^{*}M$ 的丛映射。

现在假设 $\alpha$ 是 $T^{*}N$ 的一个截面（ $N$ 上一个 1-形式），将 $\alpha$ 与 $\phi$ 前复合得到 $\phi ^{*}T^{*}N$ 的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 $\alpha$ 由 $\phi$ 的拉回，是 $M$ 上一个 1-形式，定义为：

(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))

对 $x$ 属于 $M$ 与 $X$ 属于 $T_{x}M$ 。

（共变）张量场

对任何自然数 $s$ ，上述构造马上可推广到 $(0,s)$ 阶张量丛上。流形 $N$ 上 $(0,s)$ 张量场是 $N$ 上张量丛的一个截面，在 $N$ 中 $y$ 点的截面是多重线性 $s$ -形式空间

F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .

取 $\Phi$ 等于从 $M$ 到 $N$ 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 $M$ 上 $(0,s)$ 张量场的拉回。更确切地，如果 $S$ 是 $N$ 上一个 $(0,s)$ -张量场，那么 $S$ 由 $\phi$ 的拉回是 $M$ 上 $(0,s)$ -张量场 $\phi ^{*}S$ ，定义为

(\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,

对 $x$ 属于 $M$ 与 $X_{j}$ 属于 $T_{x}M$ 。

微分形式

共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 $\alpha$ 是一个微分 $k$ -形式，即 $TN$ （逐点）反交换 $k$ -形式组成的外丛 $\Lambda ^{k}T^{*}N$ 的一个截面，则 $\alpha$ 的拉回是 $M$ 上一个微分 $k$ -形式，定义与上一节相同：

(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,

对 $x$ 属于 $M$ 与 $X_{j}$ 属于 $T_{x}M$ 。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和楔积相容：假设同上，对 $N$ 上的微分形式 $\alpha$ 与 $\beta$ ，

\varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .

2. 和外导数 $\operatorname {d} \!$ 相容：如果 $\alpha$ 是 $N$ 上一个微分形式，则

\varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .

由微分同胚拉回

当流形之间的映射 $\phi$ 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

\Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)

可逆，给出

\Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 $TN$ 与 $T^{*}N$ 两部分，分别用 $\Phi$ 与 $\Phi ^{-1}$ 变换。当 $M=N$ 时，则拉回和前推刻画了流形 $M$ 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

由自同构拉回

上一节的构造有一个代表性特例，若 $\phi$ 是流形 $M$ 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 $\operatorname {d} \!\phi$ 是 $GL(TM,\phi ^{*}TM)$ 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 $GL(m)(m=\dim M)$ 相配于 $M$ 的标架丛 $GL(M)$ 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

拉回与李导数

将上述想法应用到由向量场 $M$ 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

联络（共变导数）

如果 $\nabla$ 是 $N$ 上向量丛 $E$ 的联络（或共变导数）， $\phi$ 是从 $M$ 到 $N$ 的光滑映射，那么在 $M$ 上的向量丛 $\phi ^{*}E$ 上有拉回联络 $\varphi ^{*}\nabla$ ，由等式

(\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)

惟一确定。

另见

参考文献

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.