正定函數

此條目介紹的是和正定矩陣有關的正定函數。关于其他的正定函數，请见「正定函數 (實值連續可微函數)」。

在數學上，複值域函數的正定函數是和正定矩陣有關的特質。

令$\mathbb {R}$是實數集合，$\mathbb {C}$為複數集合。

函數$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$稱為半正定，若針對所有實數x₁, …, x_n， n × n 矩陣

$A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})$

都是半正定矩陣。

依照定義，半正定矩陣（像是$A$）會是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。

若上述矩陣改為正定矩陣、半負定矩陣及負定矩陣，則函數則為正定函數、半負定函數及負定函數。

舉例

若$(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$是實内积空间，則$g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$, $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$對於每一個$y\in X$是正定：針對所有$u\in \mathbb {C} ^{n}$，以及所有$x_{1},\ldots ,x_{n}$，可得

$u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.$

正定函數的非負線性組合也是正定函數，像是余弦函數是上述函數的非負線性組合，因此是正定的：

$\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).$

若有正定函數$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$，以及向量空间$X$，可以建立正定函數$f\colon X\to \mathbb {C}$：選擇線性函數 $\phi \colon X\to \mathbb {R}$，並且定義$f^{*}:=f\circ \phi$. 則

$u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,$

其中${\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}$，而在$\phi$線性時，每一個${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})$都是不同的。

Bochner定理

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正定函數也出現在傅里叶变换的理論中，可以看出一個函數f正定就是可以成為在函數g（且g(y) ≥ 0）在實數線上傅里叶变换的充份條件。

反過來的結果就是Bochner定理，提到在實數線上的连续正定函數是正测度的傅里叶变换。

應用

在统计学（特別是贝叶斯统计）裡，此定理常用在實函數中，一般來說，會在$R^{d}$裡選幾個點，針對其純量值進行n個純量的量測，若要量測結果有高度相關性，這些點需要互相靠近。實際上，必須小心確保所得的共變異數矩陣（n × n矩陣）恆為正定矩陣。有一個作法是定義一個相關矩陣，再乘以純量，得到协方差矩阵，所得的一定是正定矩陣。Bochner定理表示，若二個點的相關係數只會隨其距離而變化（也就是距離的函數f），則函數f一定會是正定函數，以確保共變異數矩陣A是正定的。

在此context下，一般不會用傅里叶变换，而是稱f(x)是對稱機率密度函數（PDF）的特征函数。

擴展

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可以在局部緊阿貝爾拓樸群定義正定函數，Bochner定理可以擴展到此context。群上的正定函數會出自然的出現在希尔伯特空间上群的表示论裡（也就是酉表示的理論）。

参见

• 正定 (消歧義)#數學
• 正定核

參考

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.