行列式的莱布尼茨公式

在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的排列表示了方块矩阵的行列式。若 $A$ 为 $n\times n$，以 $a_{ij}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行（row）与第 $j$ 列（column），则莱布尼茨公式为： $$\det \left(A\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma \left(i\right)}=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\tau \right)\prod _{i=1}^{n}a_{\tau \left(i\right)i}$$ 其中 $\operatorname {sgn}$ 为置换群 $S_{n}$ 中的置换的符号，当其中为偶置换时给出 $+1$，而当其中是奇置换时给出 $-1$。

另一种常见的，物理学家可能更熟悉的记号是依据列维-奇维塔符号并利用爱因斯坦求和约定将公式表示为 $$\det \left(A\right)=\varepsilon _{i_{1},\dots ,i_{n}}a_{1,i_{1}}\cdots a_{n,i_{n}}.$$

因为 $n!$ 是 $n$ 阶置换的数量，直接根据定义计算莱布尼茨公式一般需要 $\Omega \left(n!\cdot n\right)$ 步。换言之，运算次数与 $n$ 的阶乘渐进成比例。即使对较小的 $n$ 来说，此方法也是困难、不明智且不可行的。另一策略是通过高斯消元法或类似方法利用LU分解 $A=LU$ 在 $O\left(n^{3}\right)$ 步内计算行列式，此时 $\det \left(A\right)=\det \left(L\right)\cdot \det \left(U\right)$，并且三角阵 $L$ 和 $U$ 的行列式仅为其对角项之积。（但是在数值线性代数的实际应用中很少需要显式计算行列式）。参见脚注。通过矩阵乘法可以简化行列式的计算，使其用少于 $O\left(n^{3}\right)$ 步就可以计算，但是这些算法中的大多数是不实用的。

正式陈述和证明

Theorem — 存在唯一的映射 $F:M_{n}\left(\mathbb {K} \right)\mapsto \mathbb {K}$ 关于列是交替多线性映射且 $F\left(I\right)=1$。

证明如下：

唯一性

令 $F$ 为定理中所言的映射，$A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}_{i,j=1,2,\dots ,n}$ 是 $n\times n$ 矩阵。用 $A_{j}$ 表示 $A$ 的第 $j$ 列，换言之 $A_{j}=\left(a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{nj}\right)^{T}$，因此 $A=\left(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\right)$。

同时，令 $e_{k}$ 表示 $\left(0,\dots ,1,\dots ,0\right)^{T}$，其中 $1$ 在第 $k$ 位，也就是单位矩阵的第 $k$ 个列向量。

现在用 $e_{k}$ 表示 $A_{j}$ 的项：$$A_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}e_{k}\quad j=1,2,\dots ,n.$$

由于 $F$ 是多线性的，可得 $$F\left(A\right)=F\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k1}e_{k},\dots ,\sum _{k=1}^{n}a_{kn}e_{k}\right)=\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{n}F\left(e_{k_{1}},\dots ,e_{k_{n}}\right)\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}i}.$$

由交替性，上式中求和指标相同（即存在 $1\leq p<q\leq n$ 使 $k_{p}=k_{q}$）的项皆为零。因此该和的求和指标一定是无重复的元组，即置换：$$F\left(A\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}F\left(e_{\sigma \left(1\right)},\dots ,e_{\sigma \left(n\right)}\right)\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma \left(i\right)i}.$$

因为 $F$ 是交替的，因此可以通过对换列 $e_{k}$ 得到单位矩阵。符号 $\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)$ 定义为必要的对换的数量和由此产生的符号变化。最终得到：$${\begin{aligned}F\left(A\right)=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)F\left(I\right)\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma \left(i\right)i}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma \left(i\right)i}\\\end{aligned}}$$ 因为 $F\left(I\right)=1$。

因此除了莱布尼茨公式定义的映射，其余映射皆不是$F\left(I\right)=1$的交替多线性映射。

这一定义方式也称为行列式的公理化定义。

存在性

现在证明由莱布尼茨公式定义的 $F$ 有以下三条性质。

多线性

设 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}_{i,j=1,2,\dots ,n}$，并设 $A_{k}=\lambda 'A'_{k}+\lambda ''A''_{k}$，其中撇号指出了辅助矩阵 $$A'=\left(A_{1},\dots ,A_{k-1},A'_{k},A_{k+1},\dots ,A_{n}\right),$$ $$A''=\left(A_{1},\dots ,A_{k-1},A''_{k},A_{k+1},\dots ,A_{n}\right).$$ 根据条件 $$a_{jk}=\lambda 'a'_{jk}+\lambda ''a''_{jk},\quad j=1,2,\dots ,n.$$ $F\left(A\right)$ 关于第 $k$ 列的元素的线性可以给出下述论断。由定义 $$F\left(A\right)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)a_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a_{\sigma \left(k\right)k}\cdots a_{\sigma \left(n\right)n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}p_{\sigma }a_{\sigma \left(k\right)k},$$ 其中 $p_{\sigma }$ 不依赖于列 $A_{k}$ 的元素。将求和指标满足 $\sigma \left(k\right)=j,\sigma \in S_{n}$ 的 $p_{\sigma }$ 合并同类项，并设 $\alpha _{j}=\sum _{\sigma \left(k\right)=j}p_{\sigma }$，我们就得到了所需的多线性 $${\begin{aligned}F\left(\dots ,A_{k},\dots \right)=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}a_{jk},\\F\left(\dots ,\lambda 'A'_{k}+\lambda ''A''_{k},\dots \right)=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\left(\lambda 'a'_{jk}+\lambda ''a''_{jk}\right)\\=&\lambda '\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}a'_{jk}+\lambda ''\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}a''_{jk}\\=&\lambda 'F\left(\dots ,A'_{k},\dots \right)+\lambda ''F\left(\dots ,A''_{k},\dots \right).\\\end{aligned}}$$ 简言之：$$F\left(A\right)=\lambda 'F\left(A'\right)+\lambda ''F\left(A''\right).$$

因此 $F$ 满足多线性。

交替性

设 $A'$ 是由 $A$ 交换列 $A_{s},A_{t}$ 得到的矩阵，也就是说 $A'_{s}=A_{t},A'_{t}=A_{s}$，若 $j\neq s,t$ 则 $A'_{j}=A_{j}$。将任意置换 $\pi \in S_{n}$ 写成 $\pi =\sigma \tau$ 的形式，其中 $\tau =\left(st\right)$ 是一个对换（参见），我们有$${\begin{aligned}F\left(A'\right)=&\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\pi \right)a'_{\pi \left(1\right)1}\cdots a'_{\pi \left(n\right)n}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \tau \right)a'_{\sigma \tau \left(1\right)1}\cdots a'_{\sigma \tau \left(s\right)s}\cdots a'_{\sigma \tau \left(t\right)t}\cdots a'_{\sigma \tau \left(n\right)n}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \tau \right)a'_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a'_{\sigma \left(t\right)s}\cdots a'_{\sigma \left(s\right)t}\cdots a'_{\sigma \left(n\right)n}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \tau \right)a_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a_{\sigma \left(t\right)t}\cdots a_{\sigma \left(s\right)s}\cdots a_{\sigma \left(n\right)n}\\=&-\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)a_{\sigma \left(1\right)1}\cdots a_{\sigma \left(t\right)t}\cdots a_{\sigma \left(s\right)s}\cdots a_{\sigma \left(n\right)n}\\=&-F\left(A\right)\\\end{aligned}}$$

进一步地，若 $A_{s},A_{t}$ 两列相同，则将其交换后有 $A'=A$。于是 $F\left(A\right)=F\left(A'\right)=-F\left(A\right)$，因此 $F\left(A\right)=0$。因此 $F$ 满足交替性。

单位矩阵的行列式为一

最后，$F(I)=1$：$${\begin{aligned}F\left(I\right)=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma \left(i\right)i}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\prod _{i=1}^{n}\delta _{i,\sigma \left(i\right)}\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)\delta _{\sigma ,\operatorname {id} _{\left\{1\ldots n\right\}}}\\=&\operatorname {sgn} \left(\operatorname {id} _{\left\{1\ldots n\right\}}\right)\\=&1\end{aligned}}$$

小结

因此唯一满足 $F\left(I\right)=1$ 交替多线性映射刻画了莱布尼茨公式定义的映射，并且该映射实际上也具有这三条性质。因此行列式可以定义为具有这三条性质的唯一映射 $M_{n}\left(\mathbb {K} \right)\mapsto \mathbb {K}$。

参见

• 矩阵
• 拉普拉斯展开
• 克莱姆法则

外部連結

• Determinant, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）