廣義線性模型

迴歸分析可以用嚟展現兩個變數（圖中打橫軸同打戙軸）之間成咩關係。廣義線性模型都可以做到呢點，但就唔使假設啲變數呈常態分佈。

廣義線性模型（參見英文：generalized linear model，glm）係統計分析一種，始於二十世紀。做研究嘅人靠住廣義線性模型，可以得知某個應變數同若干個自變數間有乜嘢關係。譬如依家做宏觀經濟學研究，研究者量度一個國家或地區嘅各種條件，包括係個國家地區嘅人口、利率以及失業率等，想知道呢啲自變數會點樣影響「笪地方嘅本地生產總值」呢個應變數。

一般認為，廣義線性模型有個好處，就係比較「有彈性」，唔使假設啲變數跟常態分佈。喺諸如經濟學、醫學、工程學等好多領域，研究緊嘅變數好多時都唔跟從常態分佈，而普通嘅迴歸分析假設咗啲變數跟常態分佈，就好多時都用唔著。喺呢啲情況下，研究者有必要用廣義線性模型，先可以解答手上嘅問題。

廣義線性模型係廣義化嘅模型。普通嘅迴歸分析可以當係廣義線性模型嘅一個「特殊個案」，係假設啲變數呈常態分佈嘅廣義線性模型。除此之外，廣義線性模型仲可以包含好多種統計模型，譬如係邏輯迴歸同埋泊淞迴歸呀噉。

基本概念

睇埋：迴歸分析同常態分佈

迴歸分析係統計學入便一種基礎嘅統計模型，用嚟剖析一個應變數 DV 同若干個自變數 IV 之間嘅關係。簡單嚟講，迴歸模型可以由數據當中搵出規律，建立一個類似噉嘅模型：

$Y=\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}+\beta _{2}x_{2}+\beta _{3}x_{3}+e$；當中

• $\beta _{0}$ 代表咗截距；
• $x_{1}$、$x_{2}$、同 $x_{3}$ 分別代表咗三個 IV；
• $\beta _{1}$ 代表咗 $x_{1}$ 呢個 IV 對個 DV 有幾大影響力，其他嗰兩個 $\beta _{2}$ 同 $\beta _{3}$ 都係同一道理。

由過往數據得出模型，研究者就可以更深入理解研究緊嘅現象（知道啲 IV 係咪真係能夠預測 DV ）而且將來佢攞住個模型，仲可以透過量度 IV 值嚟預測 DV 值。舉個應用例子：想像依家要做營銷，一間企業睇吓過往嘅數據，建立迴歸模型描述廣告費用同營業額之間嘅關係，得出個模型之後，就可以得知

「廣告費用每增加 1,000 文，營業額平均會升 5,000 文」

噉嘅資訊，當中廣告費用係自變數（用嚟做預測）而營業額係應變數（被預測嗰個）。班研究者有咗個模型，第時就做預測同埋幫手制定營銷策略。

傳統上，迴歸分析會假設咗啲變數嘅量度誤差服從常態分佈，即係話呢啲變數理應係噉：大部分數值都集中喺平均值附近，極端數值較少出現。假如研究緊嘅變數唔服從常態分佈，又照用迴歸分析，就會搞到得出嘅模型唔準確。

呢幅圖打橫條軸係「個變數嘅可能數值」而打戙條軸係「每個值出現嘅機率」。呢幅入便嗰個變數跟從常態分佈。

喺實際應用上，好多變數的確係大致跟常態分佈嘅，所以迴歸分析嘅假設冇問題，但又有多變數嘅數據明顯唔符合常態分佈，譬如數sou2數據（想像分析某產品每日賣出幾多件）嘅誤差可能會呈泊松分佈而非常態分佈，而且好多描述人類行為嘅變數都會有好多極端值，有高嘅偏度同峰度，呢啲噉嘅變數就難以用迴歸分析嚟研究。不過，呢啲變數喺各門社會科學度都好常見。

廣義線性模型有助應付呢個問題，因為呢種分析方法放寬咗對誤差嘅假設。

三大部份

喺廣義線性模型入便，個應變數 Y 每個出到嘅數值都假設咗係由某種指數型分佈產生嘅。指數型分佈包括好多種概率分佈，諸如常態分佈、二項分佈、泊淞分佈以及伽瑪分佈等等。噉：

$\operatorname {E} (\mathbf {Y} \mid \mathbf {X} )=g^{-1}(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})$

呢度嘅 E(Y | X) 係 Y 喺 X 條件下嘅期望值；Xβ 係線性預測子，即係未知參數 β 嘅線性組合，最後 g 就係連結函數。未知參數 β 可以用最大似然估計或者貝葉斯式嘅技術嚟估計。

誤差嘅分佈

睇埋：指數型分佈

睇埋

• 迴歸分析
• 最大似然

外拎

• （英文） 廣義線性模型，IBM SPSS
• （英文） SPSS 入便嘅廣義線性模型，SPSS analysis
• （英文） 廣義線性模型，全面入門簡介，Medium