Восьмиугольная мозаика
| Восьмиугольная мозаика | |
|---|---|
| |
| Тип | Правильная гиперболическая мозаика |
| Конфигурация вершины | 83 |
| Символ Шлефли | {8,3} t{4,8} |
| Символ Витхоффа | 3 | 8 2 2 8 | 4 4 4 4 | |
| Симметрии | [8,3], (*832) [8,4], (*842) [(4,4,4)], (*444) |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |        
|
| Двойственные соты | Треугольная мозаика порядка 8 |
| Свойства | Изогональная, изотоксальная, изоэдральная |
Восьмиугольная мозаика — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика представлена символом Шлефли {8,3} и имеет три правильных восьмиугольника вокруг каждой вершины. Мозаика также имеет построение в виде усечения квадратной мозаики порядка 8, t{4,8}.
Однородные раскраски
[править | править код]Подобно шестиугольной раскраске евклидовой плоскости имеется 3 такие однородные гиперболические раскраски. Двойственная мозаика V8.8.8 представляет фундаментальные области с симметрией [(4,4,4)].
| Правильные | Усечения | ||
|---|---|---|---|
{8,3}
|
 t{4,8}
|
 t{4[3]}   =  =
| |
| Двойственная раскраска | |||
 {3,8}  =
|
 =  
|
 = =
| |
Правильные карты
[править | править код]Правильную карту {8,3}2,0 можно рассматривать как 6-цветную раскраску гиперболической мозаики {8,3}. В правильной карте восьмиугольники одного цвета считаются теми же гранями, показанными в разных местах. Нижний индекс 2,0 показывает, что тот же цвет повторяется при движении на пару шагов в сторону противоположного ребра. Эта правильная карта имеет также представление как двойное покрытие куба, что соответствует символу Шлефли {8/2,3}, с 6 восьмиугольными гранями, дважды обёрнутыми {8/2}, с 24 рёбрами и 16 вершинами. Покрытие описано Бранко Грюнбаумом в главе Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? (Ваш многогранник тот же, что и мой?) книги 2003 года[1]
Связанные многогранники и мозаики
[править | править код]Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик с символом Шлефли {n,3}.
| Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические. |
Параком- пактные. |
Некомпактные гиперболические. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Она также топологически является частью последовательности правильных мозаик с символом Шлефли {8,n}.
Исходя из построения Витхоффа существует десять гиперболических однородных мозаик, которые базируются на правильных восьмиугольных мозаиках.
Если рисовать мозаики, выкрашивая красным цветом исходные грани, жёлтым цветом исходные вершины и синим цветом исходные рёбра, получим 10 форм.
| Однородные восьмиугольные/треугольные мозаики | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [8,3], (*832) | [8,3]+ (832) |
[1+,8,3] (*443) |
[8,3+] (3*4) | ||||||||||
| {8,3} | t{8,3} | r{8,3} | t{3,8} | {3,8} | rr{8,3} s2{3,8} |
tr{8,3} | sr{8,3} | h{8,3} | h2{8,3} | s{3,8} | |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
  или 
|
или
|
| ||||||||
|
|
 
|
 
|
|
|
|
|
 
|
|
 
| |||
| Однородные двойственные | |||||||||||||
| V83 | V3.16.16 | V3.8.3.8 | V6.6.8 | V38 | V3.4.8.4 | V4.6.16 | V34.8 | V(3.4)3 | V8.6.6 | V35.4 | |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| Однородные восьмиугольные/квадратные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) (with [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) index 2 subsymmetries) (и подсимметрия [(∞,4,∞,4)] (*4242) ) | |||||||||||
=    =  = 
|
= 
|
= =  =
|
=
|
= =
|
=
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
| {8,4} | t{8,4} |
r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| Однордные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V84 | V4.16.16 | V(4.8)2 | V8.8.8 | V48 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
| Альтернированные | |||||||||||
| [1+,8,4] (*444) |
[8+,4] (8*2) |
[8,1+,4] (*4222) |
[8,4+] (4*4) |
[8,4,1+] (*882) |
[(8,4,2+)] (2*42) |
[8,4]+ (842) | |||||
=
|
= 
|
=  
|
=
|
= 
|
=
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
| h{8,4} | s{8,4} | hr{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| Альтернированные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|||||||
| V(4.4)4 | V3.(3.8)2 | V(4.4.4)2 | V(3.4)3 | V88 | V4.44 | V3.3.4.3.8 | |||||
| Однородные мозаики (4,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)]+ (444) |
[(1+,4,4,4)] (*4242) |
[(4+,4,4)] (4*22) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| t0(4,4,4) h{8,4} |
t0,1(4,4,4) h2{8,4} |
t1(4,4,4) {4,8}1/2 |
t1,2(4,4,4) h2{8,4} |
t2(4,4,4) h{8,4} |
t0,2(4,4,4) r{4,8}1/2 |
t0,1,2(4,4,4) t{4,8}1/2 |
s(4,4,4) s{4,8}1/2 |
h(4,4,4) h{4,8}1/2 |
hr(4,4,4) hr{4,8}1/2 | ||
| Однородные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V8.8.8 | V3.4.3.4.3.4 | V88 | V(4,4)3 | ||
См. также
[править | править код]
- Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
- Список однородных мозаик на плоскости[англ.]
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
[править | править код]- ↑ Grünbaum, 2003, с. 461–488.
Литература
[править | править код]- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .
- Branko Grünbaum. Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? // Discrete and Computational Geometry. — 2003. — Т. 25. — (Algorithms and Combinatorics). — ISBN 978-3-642-62442-1. — doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolic disk (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch
